ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel Herleitung

Die Herleitung bzw. den Beweis für die Mitternachtsformel (ABC-Formel) findet ihr hier. Diese Inhalte sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, wie man die ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel herleitet.
• Ein Beispiel wie man die Herleitung durchführt.
• Aufgaben / Übungen damit ihr die Anwendung der Formel üben könnt.
• Ein Video zur Herleitung der Mitternachtsformel / ABC-Formel.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Hinweis: Wer sich für das Rechnen von Aufgaben mit der Formel interessiert schaut bitte noch in Mitternachtsformel oder ABC-Formel rein.

Herleitung Mitternachtsformel / ABC-Formel

Wie kommt man eigentlich auf so Formeln wie die Mitternachtsformel? Irgend jemand muss sich dies doch einmal ausgedacht haben. Wie kommt man nun von der quadratischen Gleichung / Funktion auf die Lösungsgleichung?

Ein paar Hinweis zum besseren Verständnis:

1. Es gibt mehrere Wege die ABC-Formel (Mitternachtsformel) herzuleiten. Aus diesem Grund werden andere Quellen durchaus andere Herleitungen aufweisen.
2. Wir haben uns hier für den Weg entschieden, der mit den unserer Meinung nach geringsten Vorkenntnissen durchzuführen ist.
3. Dennoch geht es nicht ganz ohne Vorwissen. Ihr solltet unbedingt fit sein bei der Anwendung der Binomischen Formeln, insbesondere der 1. Binomischen Formel. Wer diese nicht kennt lernt bitte erst unter Binomische Formeln weiter.

Alles klar? Sehen wir uns die Herleitung für die Mitternachtsformel Stück für Stück einmal an.

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Mitternachtsformel Beweis

Wir starten mit der Gleichung

Wir subtrahieren zunächst c. Dadurch erhalten wir -c auf der rechten Seite.

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 4a. Wir erhalten dadurch:

Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung b².

Sieht jemand in der letzten Gleichung etwas besonderes? Seht genau hin! Auf der linken Seite steckt die 1. Binomische Formel. Wer sich an diese nicht mehr erinnert findet sie in der nächsten Zeile:

Ihr habt noch immer keine Ahnung davon? In diesem Fall werft bitte erst einmal einen Blick auf die Inhalte unter Binomische Formeln. Wir wenden die 1. Binomische Formel auf die linke Seite an.

Zur Erinnerung: Auf der rechten Seite haben wir noch immer -4ac + b². Die linke Seite haben wir umgewandelt:

Auf die linke Seite wenden wenden wir jetzt die erste Binomische Formel an und erhalten:

Wir ziehen auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel. Beachtet dabei, dass vor die Wurzel ein plus und ein minus gehört:

Wir subtrahieren b auf die andere Seite:

Die dividieren noch durch 2a.

Da es zwei Lösungen sind schreibt man es meistens mit x_1/2.

Fertig!

Aufgaben / Übungen Mitternachtsformel

Aufgabe 1: Bevor wir rechnen kurz ein paar (einfache) Fragen. Was kann man mit der ABC-Formel lösen?

• Lineare Gleichungen
• Gleichungen 5. Grades
• Kubische Gleichungen
• Quadratische Gleichungen

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Video Mitternachtsformel Herleitung

Fragen mit Antworten Mitternachtsformel