Dreisatz ▷ Proportional und Antiproportional

Was der Dreisatz ist und wie man damit rechnet, lernst du hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, welche Arten von Dreisatz es gibt und wie man damit rechnet.
• Beispiele um den proportionalen und antiproportionalen Dreisatz anzuwenden.
• Aufgaben / Übungen um dieses Thema selbst zu üben.
• Ein Video zum Dreisatz.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Hinweis: Wir sehen uns hier gleich die Grundlagen vom Dreisatz an. Wer hingegen nur lernen möchte, wie man Aufgaben der Prozentrechnung mit dem Dreisatz lösen kann, der sieht bitte direkt in Prozentrechnung durch Dreisatz.

Erklärung: Dreisatz proportional

Fangen wir mit einer Definition für den Dreisatz an:

Man unterscheidet in der Mathematik zwischen dem geraden und dem ungeraden Dreisatz. Die zwei Arten von Dreisatz lauten:

• Gerader Dreisatz: Wird auch als proportionaler Dreisatz bezeichnet. Es gilt: Je mehr, desto mehr. Beispiel: Je mehr Bananen ich kaufe, desto mehr muss ich bezahlen.
• Ungerader Dreisatz: Wird auch als antiproportionaler Dreisatz bezeichnet: Es gilt: Je mehr, desto weniger. Beispiel: Je mehr Handwerker arbeiten, desto schneller ist die Arbeit erledigt.

Beispiel proportional:

Ihr geht einkaufen. Dabei seht ihr ihr, dass eine Tafel Schokolade 1 Euro kostet. Würdet ihr zwei Tafeln Schokolade kaufen kostet euch das 2 Euro. Drei Tafeln Schokolade kosten 3 Euro und so weiter. Wichtig dabei: Es gibt keinen Mengenrabatt in diesem Beispiel. Für jede weitere Tafel Schokolade einen Euro mehr.

So etwas nennt man eine proportionale Zuordnung: Doppelte Menge, doppelter Preis. Dreifache Menge für den dreifachen Preis und so weiter. Die Formel für so eine lineare Gleichung lautet:

Solche proportionalen Aufgaben lassen sich mit einem geraden Dreisatz rechnen. Dabei liegen aber oft nicht Rechenaufgaben mit so einfachen Zahlen vor, sondern es wird etwas komplizierter. Außerdem erfährt man meistens nicht was 1 Stück kostet, sondern was eine größere Anzahl kostet.

Beispiel gerader (= proportionaler) Dreisatz:

Das Rezept für einen Kuchen ist für 4 Personen ausgelegt. In der Anleitung steht, dass bei 4 Personen 500 Gramm Mehl benötigt werden. Ihr möchtet jedoch mehr Kuchen machen, so dass dieser für 7 Personen reicht. Wie viel Mehl benötigt ihr jetzt?

Lösung:

Der Dreisatz funktioniert so, dass man in die erste Zeile die vorhanden Informationen schreibt. In diesem Fall 4 Personen und 500 Gramm.

Im Anschluss rechnet man diese Informationen runter auf eine Person (oder bei anderen Aufgaben runter auf 1 Prozent, 1 Stück etc.). Dazu müssen wir hier beide Angaben durch 4 teilen. Bei 500 Gramm dividiert durch 4 kommen wir auf 125 Gramm.

Wir wissen jetzt, dass wir für eine Person 125 Gramm Mehl brauchen. Nun rechnen wir dies hoch auf 7 Personen. Dazu müssen wir auf beiden Seiten mit 7 multiplizieren. Pro Person 125 Gramm multipliziert mit 7 ergibt 875 Gramm Mehl.

Mit diesem Dreisatz haben wir nun berechnet, dass wir 875 Gramm Mehl für 7 Personen benötigen.

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Formel proportionaler Dreisatz

Diese Formel bzw. Vorgehensweise kann allgemein für den geraden Dreisatz angewendet werden. Dazu noch einmal den vollständigen Dreisatz mit farblicher Markierung und im Anschluss die Kurzberechnung mit Formel.

Mit Formel zum Dreisatz bedeutet dies:

Woher der Dreisatz seinen Namen hat, sieht man sehr schön an den drei Zeilen, welche man bei diesem verwendet:

Antiproportionalen Dreisatz erkennen und Beispiel

Bei den proportionalen Zuordnungen weiter oben lief alles nach dem Motto "Je mehr, desto mehr". Je mehr Personen, desto mehr Mehl. Dies ist nicht immer so. Es gibt auch antiproportionale Zuordnungen bzw. Zusammenhänge. Hier gilt das Motto "Je mehr, desto weniger".

Antiproportionalen Dreisatz erkennen:

Eine Lagerhalle wurde bei einem Hochwasser überflutet. Die Feuerwehr beginnt damit Pumpen aufzubauen, um das Wasser wieder aus der Lagerhalle zu bekommen. Der Verantwortliche schätzt, dass man mit 2 Pumpen die Halle in 3 Tagen von Wasser befreien könnte. Dem Betreiber der Lagerhalle dauert dies zu lange. Er würde gerne in einem halben Tag (0,5 Tage) die Lagerhalle wieder wasserfrei haben.

Der logische Verstand sollte einem bei so einer Aufgabe bereits sagen, dass mehr Pumpen die Lagerhalle schneller vom Wasser befreien können als weniger Pumpen. Es gilt hier "Je mehr Pumpen, desto weniger Zeit". Proportionale Aufgaben lösen wir mit dem geraden Dreisatz und antiproportionale Aufgaben mit dem ungeraden Dreisatz.

Beispiel ungerader (= antiproportionaler) Dreisatz:

Nehmen wir das Beispiel von eben: 2 Pumpen brauchen 3 Tage um eine Lagerhalle von Wasser zu befreien. Wie viele Pumpen werden benötigt um es in 12 Stunden zu schaffen?

Lösung: Wie auch beim geraden Dreisatz schreiben wir in die erste Zeile zunächst die Ausgangsinformationen: In 3 Tagen packen es 2 Pumpen.

Um von 3 Tage auf 1 Tag zu kommen, teilen wir auf der linken Seite durch 3. Bei proportionalen Aufgaben macht man auf der rechten Seite genau das Gleiche. Wir haben hier jedoch eine antiproportionale Zuordnung. Daher teilen wir auf der rechten Seite nicht durch 3, sondern multiplizieren mit 3. Wir kommen damit zu dem Ergebnis, dass 6 Pumpen die Lagerhalle an einem einzigen Tag frei Pumpen könnten.

Wir interessieren uns jedoch bei dieser Aufgabenstellung dafür, wie viele Pumpen man bräuchte um alles in einem halben Tag (12 Stunden) zu schaffen. Um von einem ganzen Tag auf einen halben Tag zu kommen, müssen wir noch einmal durch 2 dividieren. Und auch hier gilt: Wir haben einen antiproportionalen Dreisatz. Daher müssen wir rechts nicht durch 2 dividieren, sondern mit 2 multiplizieren.

Die Antwort: Mit 12 Pumpen gelingt es die Lagerhalle in einem halben Tag von Wasser zu befreien (sieht man von Restfeuchtigkeit ab).

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Aufgaben / Übungen zum Dreisatz

Aufgabe 1: Bevor wir rechnen kurz ein paar Wissensfragen. Wie nennt man das Gegenteil von proportional beim Dreisatz?

• gegenproportional
• unproportional
• mixproportional
• antiproportional

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Video Dreisatz

Fragen mit Antworten zum Dreisatz