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kgV: kleinstes gemeinsames Vielfaches

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 12. August 2017 um 22:06 Uhr

Mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen - kurz kgV - befassen wir uns hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was das kgV ist und wie man es berechnet.
  • Viele Beispiele zur kgV-Berechnung, auch mit Primfaktorzerlegung.
  • Aufgaben / Übungen rund zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen.
  • Ein Video zum Thema.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Falls ihr Verständnisprobleme mit diesem Artikel habt, dann klemmt es vielleicht bei den Vorkenntnissen. Falls dem so ist seht erst einmal auf die Inhalte Multiplikation von Zahlen und Primfaktorzerlegung.

Erklärung kgV

Es kommt in der Mathematik nicht sonderlich oft vor, dass der Name von etwas schon beschreibt, was gesucht ist. Beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen - kurz kgV - ist dies jedoch der Fall. Es handelt sich dabei um die kleinste natürlich die Zahl die vielfache zweier (oder mehr) von Ausgangszahlen ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten der Berechnung. Die erste Variante ist einfach die Vielfachen der Zahlen aufzuschreiben und die kleinste gemeinsame Zahl zu finden.

Beispiel 1:

Von den Zahlen 3 und 5 soll das kgV ermittelt werden. Wie lautet dieses?

Lösung:

Wir multiplizieren zunächst beide Zahlen mit 1, 2, 3, 4, 5 usw. Dadurch erhalten wir die Vielfachen von 3 und 5.

kgV Beispiel 1

Nun suchen wir aus den beiden Zahlenreihen die kleinste gemeinsame Zahl raus.

kgV Beispiel 1b

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 5 ist damit 15.

Beispiel 2:

Im zweiten Beispiel soll der kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 5, 8 und 12 ermittelt werden. Damit ist das kgV von drei Zahlen gesucht.

Lösung:

Wir bilden zunächst die Vielfachen von 5 und 8 und auch die Vielfachen von 12. Dies müssen wir solange machen bis wir bei allen drei Reihen eine gemeinsame Zahl finden. Dies ist erst bei der 120 der Fall.

kgV Beispiel 2a

kgV berechnen mit Primfaktorzerlegung

Eine weitere Möglichkeit das kgV zu finden soll hier gezeigt werden. Diese bezeichnet man als kgV mit Primfaktorzerlegung. Dabei nimmt man die beiden (oder noch mehr) Zahlen und zerlegen diese Zahlen in die Multiplikation aus kleinen Primfaktoren. Gerade beim Ermitteln des kgV von sehr großen Zahlen hilft dieses Verfahren. Um den Rechenweg zu verstehen bleibe ich bei den Beispiel-Rechnungen bei kleinen Zahlen.

Für die Zerlegung sollte man die Teilbarkeitsregeln kennenlernen. Wer die Regeln zur Teilbarkeit noch nicht kennt, kann diese gerne nachlesen. Die Kurzfassung seht ihr jedoch in den Beispielen.

Beispiel 3:

Mit dem kgV zur Primfaktorzerlegung soll das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 20 und 24 berechnet werden.

Lösung:

Wir nehmen beide Zahlen und zerlegen diese in die Multiplikation kleiner Primzahlen. Zunächst zerlegen wir die 20 in Primfaktoren

kgV Beispiel 3a

Nun nehmen wir die 24 auseinander und bilden aus dieser Multiplikationen kleiner Primzahlen.

kgV Beispiel 3b

Wir fassen die beiden Primfaktorzerlegungen zusammen:

kgV Beispiel 3c

Wir schreiben diese Zerlegung in Potenzen auf.

kgV Beispiel 3d

Die Basis - oder besser gesagt die Basen - der Zahlen sind 2, 5 und 3. Diese sehen wir uns nun an und nehmen jeweils die Potenz mit dem höchsten Exponenten. Bei 22 und 23 hat 23 den höchsten Exponenten. Bei der Basis 3 gibt es nur 31 und bei der Basis 5 nur 51.

kgV Beispiel 3e

Man kann dieses kgV noch ausrechnen mit 23 · 31 · 51 = 120.

Aufgaben / Übungen zum kgV

Aufgabe 1: Zunächst ein Hinweis: Wer eine Aufgabe nicht mag kann auf "Überspringen" klicken. Ansonsten zur ersten Aufgabe: Wie lautet das kgV von 3 und 5.

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Videos zum kgV

Beispiele zum kgV

Das nächste Video ist ein Sammelvideo zu einigen Themen der Mathematik. Teil davon ist auch das kgV. Die Inhalte sind:

  • Was ist eine Primzahl und wie lauten die ersten Primzahlen?
  • Wie funktioniert die Primfaktorzerlegung?
  • Wie berechnet man das ggT?
  • Wie berechnet man das kgV?

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zum kgV

In diesem Abschnitt geht es noch um typische Fragen zum kgV.

F: Wofür braucht man das kleinste gemeinsame Vielfache?

A: Das kleinste gemeinsame Vielfache ist etwas, was man zum Beispiel in der Bruchrechnung benötigt. Hier dient das kgV dazu einen gemeinsamen Hauptnenner zu finden. Es wird damit zur Addition und Subtraktion von Brüchen eingesetzt. Ebenfalls hilfreich ist dabei zu Wissen, ob man eine Zahl durch eine andere Zahl ohne Rest teilen kann. Dazu empfiehlt sich noch ein Blick auf die Teilbarkeitsregeln.

F: Gibt es noch ein anderes KGV?

A: Im Finanzbereich gibt es ebenfalls ein KGV. Dieses steht jedoch nicht für kleinstes gemeinsames Vielfaches, sondern für das Kurs-Gewinn-Verhältnis. Dabei nimmt man den Kurs (einer Aktie) und teilt dieses durch den Gewinn des Unternehmens. Der Quotient ist dann das Verhältnis.

F: Was ist das "Gegenstück" zum kgV?

A: Das "Gegenstück" zum kvG ist das größte gemeinsame Teiler, kurz ggT.

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