Gemischte Brüche / Gemischte Zahlen

Was gemischte Brüche sind und wie man mit diesen rechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, was ein gemischter Bruch ist und wie man damit rechnet.
• Viele Beispiele zum Rechnen mit gemischten Zahlen.
• Aufgaben / Übungen damit ihr selbst das Rechnen mit gemischten Brüchen üben könnt.
• Videos zur diesem Thema.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Ein kleiner Tipp zum Start: Wenn ihr nicht wisst, was ein Bruch ist, werft bitte erst einmal einen Blick in den Hauptartikel Bruchrechnen. Ansonsten sehen wir uns nun gemischte Brüche an.

Erklärung gemischte Brüche

Klären wir zunächst einmal, was ein gemischter Bruch überhaupt ist.

Wie kann man sich einen gemischten Bruch einfach vorstellen? Dazu soll einmal ein Bruch mit Torten dargestellt werden.

Diese Schreibweise ist nun so zu verstehen, dass wir 2 ganze Torten haben. Von einer weiteren Torte sind es noch zusätzlich 5 von 8 Stücke.

Anders ausgedrückt. Wir haben bei der ersten Torte 8 von 8 Stücke. Wir haben bei der zweiten Torte 8 von 8 Stück und bei der dritten Torte 5 von 8 Stücke. Wir können daher den gemischten Bruch umwandeln:

Mit gemischten Brüchen können die Grundrechenarten durchgeführt werden. Grundrechenarten sind:

• Addition
• Subtraktion
• Multiplikation
• Division

Bevor man diese anwendet, wandelt man die gemischten Brüche erst einmal in "normale" Brüche aus nur Zähler und Nenner um.

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Beispiele gemischte Brüche

In diesem Abschnitt sehen wir uns an, wie man gemischte Brüche umwandeln und im Anschluss diese addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert.

Beispiel 1: Gemischte Brüche addieren

Berechne die Lösung dieser Aufgabe:

Lösung:

Zunächst müssen wir die gemischten Zahlen / Brüche umwandeln in Brüche aus Zähler und Nenner. Dazu muss man wissen, dass die Zahlen vor dem Bruch jeweils Ganze sind. Bei der ersten Zahl haben wir 4 Ganze und bei der zweiten Zahl 1 Ganzes. Darauf addieren wir bei der ersten Zahl 1/7 und bei der zweiten Zahl 1/5.

Die Addition wird damit zu:

Zwei ungleichnamige Brüche müssen addiert werden. Ungleichnamig bedeutet, dass die Nenner verschieden sind. Wir machen diese gleichnamig. Gleichnamig machen bedeutet, bei beiden Brüche mit dem gleichen Nenner zu arbeiten. Diesen gemeinsamen Nenner erhalten wir, indem wir die beiden Nenner miteinander multiplizieren: 7 · 5 = 35.

Die Zähler müssen noch berechnet werden. Den ersten Nenner (7) mussten wir mit 5 multiplizieren, um auf 35 zu kommen. Dies machen wir nun im Zähler ebenfalls: 29 · 5 = 145. Den zweiten Nenner (5) mussten wir mit 7 multiplizieren, um auf 35 zu kommen. Dies machen wir nun auch im Zähler: 6 · 7 = 42.

Im nächsten Schritt werden die Zähler addiert, der Nenner wird beibehalten.

Man kann diesen Bruch wieder zurück in eine gemischte Zahl umwandeln. Die 35 geht in die 187 insgesamt 5 Mal komplett rein, da 5 · 35 = 175. Mit 187 - 175 = 12 erhalten wir den Zähler für den Bruch danach.

Beispiel 2: Gemischte Brüche subtrahieren
Im zweiten Beispiel sollen zwei gemischte Zahlen subtrahiert werden. Die Aufgabe lautet:

Lösung:
Wir wandeln die gemischten Brüche um. Beim Ersten haben wir 3 Ganze (also 3 mal 5/5) plus 4/5. Beim Zweiten gemischten Bruch haben wir 2 Ganze (also 2 mal 5/5) plus 3/5. Die Zähler addieren wir im Anschluss jeweils, der Nenner bleibt.

Nach dem Umwandeln sieht die Subtraktion damit so aus:

Dies können wir auch schreiben als:

Beispiel 3: Gemischte Brüche multiplizieren
Zwei gemischte Zahlen sollen multipliziert werden. Wie lautet das Ergebnis dieser Übung?

Lösung:
Vor der Multiplikation wandeln wir erneut die gemischten Brüche um. Beim ersten Bruch haben wir 2 Ganze (also 2 mal 7/7) plus 2/7. Beim zweiten Bruch haben 1 Ganzes (also 1 mal 5/5) plus 3/5.

Brüche werden multipliziert, in dem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert wird.

Diesen Bruch kann man wieder in die gemischte Schreibweise zurückführen. Die 35 geht dabei in die 128 insgesamt 3 Mal komplett rein ( 3 · 35 = 105 ). Übrig bleiben 128 - 105 = 23.

Beispiel 4: Gemischte Brüche dividieren
Die letzte Grundrechenart ist die Division. Daher sollen hier jetzt noch zwei gemischte Brüche dividiert werden.

Lösung:
Wie immer wandeln wir zunächst den gemischten Bruch um in einen Bruch aus nur Zähler und Nenner. Vorne haben wir 2 Ganze (also 2 mal 2/2) plus 1/2. Beim zweiten gemischten Bruch haben wir 3 Ganze (also 3 mal 3/2) plus 3/2.

Die Division wird damit zu:

Ein Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Dies bedeutet, dass wir beim zweiten Bruch Zähler und Nenner vertauschen und damit multiplizieren.

Wir multiplizieren aus. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Wer mag kann diesen Bruch noch kürzen zu 5/9.

Aufgaben / Übungen gemischte Brüche

Aufgabe 1: Wie lautet dieser Bruch in reiner Schreibweise mit Zähler und Nenner?

• 17 / 8
• 23 / 8
• 21 / 8
• 27 / 8

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Video gemischte Zahlen

Fragen mit Antworten zu gemischten Brüchen