Quadratische Funktion / Gleichung lösen

Wie kann man quadratische Funktionen / quadratische Gleichung lösen? Genau dies sehen wir uns in den nächsten Abschnitten an. Folgende Inhalte werden angeboten:

• Zunächst gibt es Erklärungen, was überhaupt eine quadratische Funktion /Gleichung ist. Und dann geht darum diese zu lösen
• Es werden Beispiele vorgerechnet um die ABC-Formel / Mitternachtsformel und PQ-Formel zu zeigen.
• Aufgaben und Übungen ermöglichen euch das Lösen von quadratischen Funktionen selbst zu üben .
• Videos zum Lösen quadratischer Funktionen stehen auch bereit.
• Ein Frage- und Antwortbereich beantwortet typische Fragen rund um das Lösen von quadratischen Funktionen / Gleichungen.

Als Erstes wird hier kurz erklärt, was quadratische Funktionen oder quadratische Gleichungen sind. Und dann geht es an die Lösung von Beispielen. Noch ein Tipp: Wer Probleme mit den Inhalten hat, dem fehlen eventuell ein paar wichtige Vorkenntnisse: In diesem Fall bitte mit den Themen lineare Gleichungen lösen und Funktionen zeichnen befassen.

Erklärung: Quadratische Funktionen / Gleichungen lösen

Fangen wir erst einmal damit an, was eine quadratische Funktion oder Gleichung ist. Quadratische Gleichungen haben die Form:

Beispiele für quadratische Gleichungen:

Eine quadratische Funktion bzw. quadratische Gleichung kann zum Beispiel so aussehen:

Wie kann man quadratische Funktionen oder quadratische Gleichungen nun lösen? Nun, dazu gibt es zwei ganz typische Wege. Und diese nennt man PQ-Formel und ABC-Formel. Beide sehen wir uns nun an.

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Quadratische Funktion: PQ-Formel und ABC-Formel

Was quadratische Gleichungen sind haben wir nun kennengelernt. Sehen wir uns zwei Verfahren zum Lösen dieser an. Zum Einen gibt es die PQ-Formel. Zum Anderen gibt es noch die Mitternachtsformel, welche manchmal auch ABC-Formel genannt wird. Fangen wir mit der PQ-Formel an.

Quadratische Gleichung / Funktion Lösungsformel

Um die PQ-Formel einsetzen zu können, muss man zunächst dafür sorgen, dass vor x² eine 1 steht und die Gleichung auf die Form mit = 0 gebracht wird. Danach kann man p und q ablesen und einfach einsetzen. Zunächst die Gleichung für die Lösung, danach Beispiele.

Quadratische Gleichung / Funktion Beispiel 1:

Zum Verständnis das Beispiel 3x² + 9x + 5 = - 1 mit der PQ-Formel. Erst die Rechnung, danach die Erklärung:

Und so wurde gerechnet:

• Wir müssen zunächst alles auf die Form = 0 bringen, dazu müssen wir zunächst +1 rechnen.
• Wir brauchen außerdem vor dem x² eine 1, also 1x² und nicht wie hier 3x². Indem wir durch 3 teilen, bekommen wir dies hin.
• Wir lesen p und q ab und setzen diese in die Lösungsgleichung ein.
• Wir Rechnen alles vor der Wurzel und unter der Wurzel aus.
• Wir haben noch ein plus (+) und ein minus(-) vor der Wurzel. Nun bestimmen wir x₁ mit dem plus und x₂ mit dem minus.
• Es gibt also zwei Lösungen bei x₁ = -1 und x₂ = -2.

Quadratische Gleichung / Funktion Beispiel 2:

Machen wir noch ein Beispiel, welches mit der PQ-Formel gelöst werden soll. Gegeben sei die quadratische Funktion / Gleichung x² -5x - 6 = 0.

Vor x² steht eine 1 und die Gleichung hat die Form mit = 0. Wir können also direkt p und q ablesen, einsetzen und die beiden Ergebnisse berechnen. Tipp: Mehr Beispiele in unserem Artikel PQ-Formel.

Quadratische Gleichung Funktion mit ABC-Formel:

Neben der PQ-Formel gibt es noch die ABC-Formel, welche manchmal auch Mitternachtsformel genannt wird. Auch hier bringt man die Gleichung auf die Form mit = 0, allerdings darf von x² auch eine andere Zahl stehen.

Nehmen wir doch noch einmal unsere Gleichung von weiter oben, die wir bereits mit der PQ-Formel gelöst hatten und lösen diese nun mit der Mitternachtsformel. Erst wieder auf die Form mit = 0. Dann lesen wir a, b und c ab und setzen diese in die Lösungsgleichung der ABC-Formel (Mitternachtsformel) ein. Und wie man sieht: Auch mit der Mitternachtsformel bekommen wir die beiden Lösungen bei x₁ = -1 und x₂ = -2.

Fazit: PQ-Formel und ABC-Formel liefern identische Ergebnisse.

Aufgaben / Übungen quadratische Funktion / Gleichung

Aufgabe 1: Hier werden nun Rechenaufgaben und Fragen rund um quadratrische Funktionen / Gleichungen gestellt. Wer eine Frage oder Aufgabe nicht mag, der kann auf "Überspringen" klicken. Fangen wir mit einer Frage an, bevor wir zum Rechnen kommen. Wie nennt man die ABC-Formel noch?

• PQ-Formel
• Polynomdivision
• Mitternachtsformel
• Satz des Pythagoras

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