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Gemischte Brüche / Gemischte Zahlen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 20:30 Uhr

Was gemischte Brüche sind und wie man mit diesen rechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was ein gemischter Bruch ist und wie man damit rechnet.
  • Viele Beispiele zum Rechnen mit gemischten Zahlen.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr selbst das Rechnen mit gemischten Brüchen üben könnt.
  • Videos zur diesem Thema.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Ein kleiner Tipp zum Start: Wenn ihr nicht wisst, was ein Bruch ist, werft bitte erst einmal einen Blick in den Hauptartikel Bruchrechnen. Ansonsten sehen wir uns nun gemischte Brüche an.

Erklärung gemischte Brüche

Klären wir zunächst einmal, was ein gemischter Bruch überhaupt ist.

Hinweis:

Ein gemischter Bruch bzw. eine gemischte Zahl ist eine Kurzschreibweise für eine Summe aus einer ganzen Zahl und dem nachfolgenden Bruch.
Gemischte Brüche Infobox

Wie kann man sich einen gemischten Bruch einfach vorstellen? Dazu soll einmal ein Bruch mit Torten dargestellt werden.
Gemischte Brüche Torte

Diese Schreibweise ist nun so zu verstehen, dass wir 2 ganze Torten haben. Von einer weiteren Torte sind es noch zusätzlich 5 von 8 Stücke.

Gemischte Brüche Torte Grafik 2


Anders ausgedrückt. Wir haben bei der ersten Torte 8 von 8 Stücke. Wir haben bei der zweiten Torte 8 von 8 Stück und bei der dritten Torte 5 von 8 Stücke. Wir können daher den gemischten Bruch umwandeln:
Gemischte Brüche Torte Addition

Mit gemischten Brüchen können die Grundrechenarten durchgeführt werden. Grundrechenarten sind:

  • Addition
  • Subtraktion
  • Multiplikation
  • Division

Bevor man diese anwendet, wandelt man die gemischten Brüche erst einmal in "normale" Brüche aus nur Zähler und Nenner um.

Beispiele gemischte Brüche


In diesem Abschnitt sehen wir uns an, wie man gemischte Brüche umwandeln und im Anschluss diese addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert.


Beispiel 1: Gemischte Brüche addieren

Berechne die Lösung dieser Aufgabe:
Gemischte Brüche Addition Beispiel 1

Lösung:

Zunächst müssen wir die gemischten Zahlen / Brüche umwandeln in Brüche aus Zähler und Nenner. Dazu muss man wissen, dass die Zahlen vor dem Bruch jeweils Ganze sind. Bei der ersten Zahl haben wir 4 Ganze und bei der zweiten Zahl 1 Ganzes. Darauf addieren wir bei der ersten Zahl 1/7 und bei der zweiten Zahl 1/5.

Gemischte Brüche Beispiel 1 Addition Teil 2 Lösung


Die Addition wird damit zu:

Gemischte Brüche Beispiel 1 Grafik 3 Lösung


Zwei ungleichnamige Brüche müssen addiert werden. Ungleichnamig bedeutet, dass die Nenner verschieden sind. Wir machen diese gleichnamig. Gleichnamig machen bedeutet, bei beiden Brüche mit dem gleichen Nenner zu arbeiten. Diesen gemeinsamen Nenner erhalten wir, indem wir die beiden Nenner miteinander multiplizieren: 7 · 5 = 35.


Gemischte Brüche Beispiel 1 Grafik 4 Lösung

Die Zähler müssen noch berechnet werden. Den ersten Nenner (7) mussten wir mit 5 multiplizieren, um auf 35 zu kommen. Dies machen wir nun im Zähler ebenfalls: 29 · 5 = 145. Den zweiten Nenner (5) mussten wir mit 7 multiplizieren, um auf 35 zu kommen. Dies machen wir nun auch im Zähler: 6 · 7 = 42.

Gemischte Brüche Beispiel 1 Grafik 5 Lösung


Im nächsten Schritt werden die Zähler addiert, der Nenner wird beibehalten.

Gemischte Brüche Beispiel 1 Addition Grafik 6 Lösung


Man kann diesen Bruch wieder zurück in eine gemischte Zahl umwandeln. Die 35 geht in die 187 insgesamt 5 Mal komplett rein, da 5 · 35 = 175. Mit 187 - 175 = 12 erhalten wir den Zähler für den Bruch danach.

Gemischte Brüche Beispiel 1 Grafik 7 Lösung

Beispiel 2: Gemischte Brüche subtrahieren
Im zweiten Beispiel sollen zwei gemischte Zahlen subtrahiert werden. Die Aufgabe lautet:

Gemischte Brüche Beispiel 2 Subtraktion Aufgabenstellung

Lösung:
Wir wandeln die gemischten Brüche um. Beim Ersten haben wir 3 Ganze (also 3 mal 5/5) plus 4/5. Beim Zweiten gemischten Bruch haben wir 2 Ganze (also 2 mal 5/5) plus 3/5. Die Zähler addieren wir im Anschluss jeweils, der Nenner bleibt.

Gemischte Brüche Beispiel 2 Subtraktion Grafik 2


Nach dem Umwandeln sieht die Subtraktion damit so aus:

Gemischte Brüche Beispiel 2 Subtraktion

Dies können wir auch schreiben als:
Gemischte Brüche Beispiel 2 Subtraktion Grafik 4

Beispiel 3: Gemischte Brüche subtrahieren
Zwei gemischte Zahlen sollen multipliziert werden. Wie lautet das Ergebnis dieser Übung?
Gemischte Brüche Beispiel 3 Multiplikation

Lösung:
Vor der Multiplikation wandeln wir erneut die gemischten Brüche um. Beim ersten Bruch haben wir 2 Ganze (also 2 mal 7/7) plus 2/7. Beim zweiten Bruch haben 1 Ganzes (also 1 mal 5/5) plus 3/5.

Gemischte Brüche Beispiel 3 Multiplikation Grafik 2

Brüche werden multipliziert, in dem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert wird.

Gemischte Brüche Beispiel 3 Multiplikation Grafik 3

Diesen Bruch kann man wieder in die gemischte Schreibweise zurückführen. Die 35 geht dabei in die 128 insgesamt 3 Mal komplett rein ( 3 · 35 = 105 ). Übrig bleiben 128 - 105 = 23.

Gemischte Brüche Beispiel 3 Multiplikation Grafik 4

Beispiel 4: Gemischte Brüche dividieren
Die letzte Grundrechenart ist die Division. Daher sollen hier jetzt noch zwei gemischte Brüche dividiert werden.

Gemischte Brüche Beispiel 4 Division

Lösung:
Wie immer wandeln wir zunächst den gemischten Bruch um in einen Bruch aus nur Zähler und Nenner. Vorne haben wir 2 Ganze (also 2 mal 2/2) plus 1/2. Beim zweiten gemischten Bruch haben wir 3 Ganze (also 3 mal 3/2) plus 3/2.

Gemischte Brüche Beispiel 4 Division Grafik 2

Die Division wird damit zu:

Gemischte Brüche Beispiel 4 Division Grafik 3


Ein Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Dies bedeutet, dass wir beim zweiten Bruch Zähler und Nenner vertauschen und damit multiplizieren.

Gemischte Brüche Beispiel 4 Division Grafik 4


Wir multiplizieren aus. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Gemischte Brüche Beispiel 4 Division Grafik 5


Wer mag kann diesen Bruch noch kürzen zu 5/9.

Aufgaben / Übungen gemischte Brüche

Aufgabe 1: Wie lautet dieser Bruch in reiner Schreibweise mit Zähler und Nenner?

Gemischte Brüche Torte

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Video gemischte Zahlen

Erklärung und Beispiele

Was gemischte Brüche / Zahlen sind und wozu man diese braucht, seht ihr im nächsten Video. Dabei geht es um den Aufbau der gemischten Zahlen. Wie man diese umrechnet und was sie als Dezimalzahl aussagen, wird ebenso behandelt.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zu gemischten Brüchen

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu gemischten Brüchen an.

F: Wann werden gemischte Brüche in der Schule behandelt?
A: Die Bruchrechnung wird oftmals bereits in der 5. Klasse begonnen. Dabei geht es jedoch erst einmal darum, was ein Bruch ist und wie man die Grundrechenarten auf diese anwendet. Gemischte Brüche kommen erst etwas später. Dies ist manchmal noch in der 5. Klasse, teilweise aber auch erst in der 6. Klasse der Fall.


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