Teilerfremdheit (Mathematik)

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 18. Dezember 2021 um 14:36 Uhr

Was teilerfremd bedeutet und wie du dies berechnet, lernst du hier. Dies sind die Themen:

  • Eine Erklärung was Teilerfremdheit ist.
  • Beispiele um Zahlen auf Teiler zu überprüfen.
  • Aufgaben / Übungen zu Teiler und Teilerfremdheit.
  • Ein Video zu Teilern von Zahlen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Hinweis: Es ist sehr hilfreich, wenn du weißt was der Teiler einer Zahl ist und zumindest die Teiler für kleine Zahlen bis 50 berechnen kannst. Falls du dir dabei noch unsicher bist, so wirf bitte erst einmal einen Blick auf die Inhalte unter Teiler und Vielfache.


Erklärung zu teilerfremd

Zwei Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keine gemeinsamen Teiler außer der Zahl 1 haben. Die Erklärung zur Teilerfremdheit lässt sich sehr einfach mit den Zahlen 7 und 11 verstehen. Beide Zahlen sind Primzahlen, haben also nur die Zahl 1 und sich selbst als Teiler. Daher sind 7 und 11 zueinander teilerfremd.

Teilerfremd durch zwei Primzahlen

Um zu prüfen, ob zwei (oder mehr) Zahlen teilerfremd sind, können verschiedene Testverfahren eingesetzt werden. Für kleine Zahlen können die Teiler in einer Zahlenreihe aufgeschrieben werden. Die Zahl 8 lässt sich zum Beispiel durch 1, 2, 4 und 8 ohne Rest teilen. Ebenso können die Teiler der 12 ermittelt werden. Am einfachsten ist es, wenn man die Zahlenreihen untereinander schreibt.

Teilerfremd berechen oder prüfen 8 und 12

Wie hier auffällt, gibt es die Zahlen 2 und 4 zusätzlich als gemeinsame Teiler. Da es neben der 1 weitere Teiler gibt sind 8 und 12 nicht teilerfremd.




Teilerfremd überprüfen Beispiele

Mit Zahlenreihen können sehr einfach kleine Zahlen nach Teilern untersucht werden. Je größer die Zahlen werden, desto schwieriger ist es, die Teiler mit den Teilbarkeitsregeln schnell zu ermitteln. Für große Zahlen wird daher die Primfaktorzerlegung eingesetzt. Die Primfaktorzerlegung dient dazu aus einer Zahl ein Produkt aus Primzahlen zu erzeugen.

Als Beispiel sollen einmal die Zahlen 99 und 132 auf Teilerfremdheit überprüft werden. Dazu zerlegen wir zunächst die 99 in Multiplikationen aus möglichst kleinen Zahlen, in diesem Fall den Primzahlen 3 und 11. Das Ergebnis schreiben wir als Potenz.

Teilerfremd Beispiel 1 Zahl 99 Primfaktorzerlegung für ggT

Die 132 wird ebenfalls in eine Multiplikation aus Primzahlen zerlegt. Wir erhalten dabei 2 Mal die 2, 1 Mal die 3 und 1 Mal die 11. Dieses Ergebnis bringen wir ebenfalls in die Potenzschreibweise.

Teilerfremd Beispiel 1 Zahl 132 Primfaktorzerlegung für ggT

Zur besseren Übersicht schreiben wir uns die Primfaktorzerlegung in Potenzen für beide Zahlen noch einmal untereinander.

Teilerfremd ggT Potenzen

Um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zu finden suchen wir aus beiden Primfaktorzerlegungen die Potenzen mit gleicher Basis raus. Die Basis 2 gibt es nur bei 22. Daher spielt diese für das ggT keine Rolle. Die Basen 3 und 11 kommen jedoch in beiden Zerlegungen vor. Uns interessiert jeweils die kleinere Potenz, daher nehmen wir 31 und nicht 32 sowie 111.

Teilerfremd 99 und 132 ggT durch Primfaktorzerlegung

Der größte gemeinsame Teiler von 99 und 132 ist die Zahl 33. Sind Zahlen teilerfremd ist der größte gemeinsame Teiler die Zahl 1. Dies ist hier nicht der Fall, daher sind 99 und 132 keine teilerfremde Zahlen, sprich es gibt neben der 1 gemeinsame Teiler.


Aufgaben (Übungen) zu Teilern

Aufgabe 1: Wie lauten die ersten fünf Vielfachen von 4?

Aufgabe überspringen »


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Fragen mit Antworten zu teilerfremd

In diesem Abschnitt geht es um typische Fragen rund um teilerfremd bzw. Teilerfremdheit.

Wie finde ich teilerfremde Zahlen?

Es gibt zwei sehr einfache Möglichkeiten teilerfremde Zahlen zu finden.

  • Nimm zwei Zahlen deren Differenz 1 ist:
    • 15 und 16 sind teilerfremd.
    • 20 und 21 sind teilerfremd.
    • 88 und 89 sind teilerfremd.
  • Nimm zwei Primzahlen:
    • Die ersten Primzahlen lauten 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53.
    • 2 und 3 sind teilerfremd.
    • 3 und 5 sind teilerfremd.

Warum sind 2 gerade Zahlen niemals teilerfremd?

2 gerade Zahlen sind niemals teilerfremd da eine gerade Zahl immer 2 als Teiler hat. Daher haben 2 gerade Zahlen jeweils 2 als Teiler und sind daher niemals teilerfremd.

Was muss ich zum kgV und ggT wissen?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier teilerfremder Zahlen ist immer 1. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier teilerfremder Zahlen ist ihr Produkt. Zum Beispiel 3 · 5 = 15.

F: Welche anderen Themen sollte ich noch lernen?

A: Ich empfehle dir diese Themen als nächstes anzusehen:

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