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PQ-Formel: Erklärung und Beispiele

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 01. Dezember 2016 um 22:20 Uhr

Dieser Artikel zur PQ-Formel bietet euch in folgender Reihenfolge:

  • Eine Erklärung samt Formel, wozu man die PQ-Formel überhaupt braucht anhand von Text und Grafiken.
  • Es werden Beispiele mit Zahlen vorgerechnet und erläutert.
  • Ihr bekommt Aufgaben bzw. Übungen zum selbst Rechnen mit Musterlösungen. Wer mag kann auch gleich mit den Aufgaben loslegen.
  • Einige Videos mit weiteren Erklärungen zur PQ-Formel.
  • Ein Frage- und Antwortbereich mit typischen Fragen (zum Beispiel negative Zahlen unter der Wurzel, ABC-Formel, Bücher etc.) rund um die PQ-Formel.

Bei Problemen mit diesem Artikel zur PQ-Formel empfehle ich euch eure Vorkentnisse mit den folgenden Themen zu verbessern: Lineare Gleichungen, Funktionen zeichnen, Quadratische Gleichung und Wurzel ziehen.

PQ-Formel Erklärung

Im Mathematik-Unterricht fragen sich Schüler immer mal wieder, wozu man bestimmte Dinge denn überhaupt braucht. So auch bei der PQ-Formel. Bevor wir also mit der Formel loslegen oder gar Beispiele besprechen, sehen wir uns kurz einmal an, was man mit der PQ-Formel überhaupt herausfinden möchte. Werft dazu einmal einen Blick auf die nächste Grafik. Dort sollten euch hoffentlich kleine Kreuze auffallen. Diese Stellen nennt man Nullstellen, denn an diesen Stellen wird die x-Achse geschnitten.

PQ-Formel Nullstellen

Schaut euch noch einmal genau die Grafik von eben an. Wenn ihr dies macht solltet ihr zwei Dinge bemerken:

  1. Kleine Kreuzchen, die ein gemeinsames Merkmal aufweisen. An diesen Stellen ist y immer Null, also y = 0.
  2. So sehen quadratische Funktionen bzw. quadratischen Gleichungen aus. Diese haben allgemein die Form f(x) = y = ax2 + bx + c = 0, Beispiel für quadratischen Funktionen bzw. quadratischen Gleichungen wären f(x) = 2x2 + 3x + 2 = 0 oder y = 3x2 - 4x - 2. Genau solche Gleichungen kann man mit der PQ-Formel lösen.

Hinweis:
Mit der PQ-Formel kann man quadratische Funktionen bzw. quadratische Gleichungen lösen.

Um nun Aufgaben mit der PQ-Formel zu lösen benötigen wir noch eine entsprechende Formel. Der Zusammhang sieht wie folgt aus (danach sehen wir uns Beispiele an):

PQ-Formel Lösungsgleichung

Es gibt hier einen häufig begangenen Fehler: Man muss zunächst die Gleichung auf die Form in der letzten Grafik bringen. Zum Einen also brauchen wir ein "= 0" und zum Anderen muss vor x2 eine 1 stehen, also 1x2.

Achtung:
Um eine Aufgabe mit der PQ-Formel zu lösen muss diese auf die Form x2 + pq + q = 0 gebracht werden!

Sehen wir uns einmal die Vorgehensweise an, um eine Aufgabe mit der PQ-Formel zu lösen.

Vorgehensweise:

  1. Die Aufgabe auf die Form x2 + pq + q = 0 bringen
  2. p und q herausfinden
  3. In die Gleichung für die Lösung einsetzen
  4. Ergebnis berechnen
  5. Sofern gefordert: Probe durchführen
  6. Sofern gefordert: Nullstelle(n) angeben

PQ-Formel: Beispiele

Zum besseren Verständnis sehen wir uns nun Beispiele zur PQ-Formel an.

Beispiel 1: Eine einfache Aufgabe

Gegeben sei die Aufgabe 3x2 + 9x + 5 = -1. Berechne diese Aufgabe mit der PQ-Formel.

Lösung: Wir wenden den Plan zur Vorgehensweise von weiter oben an. Die Punkte 1-4 müssen durchgeführt werden und werden in der Grafik mit (1), (2), (3) und (4) angegeben.

  1. Zunächst müssen wir die Gleichung umformen. Wir benötigen die Gleichung in der Form mit = 0 und vor dem x2 muss eine 1 stehen.
  2. Wir lesen p und q einfach ab.
  3. Wir nehmen die Gleichung zum Auffinden der Lösung und setzen die Werte ein. Hinweis: Zuerst wird 3/2 in der Klammer berechnet, erst im Anschluss das Quadrat.
  4. Und damit berechnen wir das Ergebnis.

PQ-Formel Beispiel 1

Beispiel 2: Negatives p und q, Brüche, Probe und Punkte

Wende auf die folgende Gleichung die PQ-Formel an, gebe am Ende die Punkte der Nullstellen an und führe eine Probe zur Kontrolle durch.

PQ-Formel Beispiel 2 Aufgabenstellung

Lösung: Auch hier gehen wir erst einmal mit dem Vorgehensplan von weiter oben vor:

  1. Zunächst müssen wir die Gleichung wieder auf die richtige Form bringen. Wir teilen zunächst durch 2 und holen im Anschluss die 11/2 auf die andere Seite.
  2. Wir lesen p und q ab. Achtet dabei auf die negativen Vorzeichen.
  3. Wir setzen p und q in die Gleichung ein. Auch hier auf die negativen Vorzeichen achten.
  4. Wir berechnen die Brüche. Im Zähler wird zunächst 3/8 berechnet und im Anschluss durch 2 geteilt. Vor der Wurzel haben wir zwei Minuszeichen, die aufeinander folgen. Diese werden zu einem plus. Unter der Wurzel wird quadriert wodurch das Minuszeichen ebenfalls zu einem plus wird. Aus - - 11/2 wird + 5,5. Wir fassen alles unter der Wurzel zusammen und ziehen dann die Wurzel. Danach können wir x1 und x2 bestimmen.

PQ-Formel Beispiel 2 Teil 1

Fehlen uns noch die Nullstellen und die Proben. Die Nullstellen liegen an den Stellen, die wir gerade berechnet haben und der y-Wert ist dabei Null. Dies ergibt die zwei Punkte. Danach setzen wir die beiden x-Werte jeweils in die Ausgangsgleichung ein. Die Gleichung muss dabei am Ende stimmen.

PQ-Formel Beispiel 2 Teil 2

PQ-Formel: Aufgaben und Übungen

Wir bieten euch im nun folgenden Aufgaben und Übungen zur PQ-Formel an. Dabei wechseln sich Aufgaben und Fagen ab. Aufgabe 1: Beginnen wir mit einer Frage. Wozu kann man die PQ-Formel verwenden?

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Videos zum Thema PQ-Formel

PQ-Formel mit Hintergrundwissen

In diesem Video wird das Beispiel x² + x -2 = 0 mit der PQ-Formel gelöst. Die Aufgabe wird dabei Schritt für Schritt auf einfache Art und Weise gelöst und entsprechend erklärt. Zum besseren Verständnis wird auch auf den mathematischen Hintergrund kurz eingegangen. Das Video kann per Klick auf den entsprechenden Button in den Vollbildmodus geschaltet werden. Am Ende wird auch eine Schreibweise gezeigt, bei der man die Nullstellen sofort sieht. Natürlich wird in diesem Video auch die Lösungsformel der PQ-Formel vorgestellt. Dieses Video stammt von Youtube.com.

PQ-Formel: Fragen und Antworten

Rund um die PQ-Formel tauchen immer wieder ähnliche Fragen auf. Daher haben wir hier einen Frage- und Antwortbereich eingeführt.

Frage: Gibt es eigentlich auch Bücher, die sich mit der PQ-Formel befassen?

Antwort: Ja, gibt es. Zum Beispiel Duden Schulwissen Mathematik.

Frage: Was bedeutet es, wenn die Zahl unter der Wurzel negativ ist?

Antwort: In diesem Fall hat die Funktion bzw. die Gleichung keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Würde man die Funktion oder Gleichung in ein Koodinatensystem zeichnen würde diese komplett unter oder komplett über der x-Achse verlaufen.

Frage: Ich habe eine PQ-Formel Aufgabe ohne p gegeben wie x2 + 0x - 2 = 0 oder in der Form x2 - 2 = 0. Kann ich hier die PQ-Formel anwenden?

Antwort: Klar. Hier ist p = 0, also wird einfach in die Gleichung für p eine Null eingesetzt und dann ganz normal gerechnet. Es geht aber natürlich auch einfacher. Man kann einfach bei x2 = 2 die Wurzel ziehen und erhält x1 und x2.

Frage: Ich habe eine PQ-Formel Aufgabe ohne q gegeben wie x2 + 3x = 0. Kann ich hier die PQ-Formel anwenden?

Antwort: Ja. Einfach in die Lösungsgleichung q = 0 einsetzen und so rechnen wie dies in den Beispielen weiter oben durchgeführt wurde.

Frage: Was mache ich eigentlich mit der ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel?

Antwort: Die ABC-Formel - manchmal auch Mitternachtsformel genannt - ist eine Alternative zur PQ-Formel. Auch mit dieser kannn man quadratische Gleichungen bzw. quadratischen Funktionen lösen. Ob man lieber die PQ-Formel oder die ABC-Formel nutzt ist Geschmackssache oder wird vom Lehrer bzw. der Lehrerin vorgegeben.

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