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Polynomdivision: Erklärung und Beispiele

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 20:28 Uhr

Mit der Polynomdivision befassen wir uns in diesem Artikel. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, was die Polynomdivision ist, wozu man sie braucht und wie sie funktioniert.
  • Beispiele zur Polynomdivision werden vorgerechnet.
  • Aufgaben / Übungen zur Polynomdivision, damit ihr selbst üben könnt.
  • Videos zu diesem Thema, bei denen auch Beispiele vorgerechnet werden.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zur Division von Polynomen.

Wir sehen uns gleich die Polynomdivision an. Dabei geht es vor allem darum die Berechnung durchzuführen. Wem dies noch nicht langt, der kann gerne auch noch einen Blick in den Artikel Nullstellen berechnen werfen. Dort wird das Thema Polynomdivision gemeinsam mit der PQ-Formel und Nullstellen erneut aufgegriffen.

Polynomdivision Erklärung

Das Wort Polynomdivision setzt sich aus zwei Wörtern zusammen: Polynom und Division.

  • Division: Divisionen sollten euch eigentlich schon aus der Grundschule bekannt sein. 8 geteilt durch 2 ist eine Division, also eine Geteiltaufgabe. Ein Bruch mit Zähler und Nenner stellt eine Division dar.
  • Polynom: Unter einem Polynom versteht man eine Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen, welche man oft mit x bezeichnet.

Polynome Beispiele:

  • 3x2 + 8x + 9
  • 91x3 + x2 + 4x -5
  • 19x5 + 20x4 + 2x

Bei der Polynomdivision dividieren wir zwei Polynome durcheinander. Die Polynomdivision wird benutzt um Nullstellen zu berechnen. Das sind die Stellen, an denen der Verlauf der Kurve die x-Achse schneidet, also y = 0 ist. Die nächste Grafik zeigt zwei Nullstellen bei einer quadratischen Gleichung, welche in rot markiert sind.

Polynomdivision Beispiel Nullstelle

Die Polynomdivision setzt man ab Funktionen 3. Grades ein, also bei Funktionen / Gleichungen mit x3, x4 oder noch höher. Dies könnte so aussehen:

  • x3 + 3x2 + 4x + 1 = 0
  • x4 + 6x2 -8x - 2 = 0
  • x5 - 3x4 + 2x3 + 4x2 + 8x - 10 = 0

Beispiele Polynomdivision

Am besten sehen wir uns die Polynomdivision Schritt für Schritt bei einem Beispiel an. Nehmen wir einmal das Polynom x3 - 6x2 - x + 6 und Teilen dies durch das Polynom x - 1. Damit sieht die Aufgabe so aus:

 Polynomdivision Beispiel 1

Wir ändern erst einmal die Schreibweise:

 Polynomdivision Beispiel 1 Bild 2

Das Rechnen läuft so ab, dass wir erst einmal Dividieren müssen. Wir rechnen hier zunächst x3 : x. Ein x kürzt sich dabei raus, sprich x3 : x = x2.

 Polynomdivision Beispiel 1 Bild 3

Eine Multiplikation steht nun an. Als nächstes rechnen wir x2 · (x - 1) = x3 - x2. Dies schreiben wir unter x3 - 6x2.

 Polynomdivision Beispiel 1 Bild 4

Dies ziehen wir ab und erhalten -5x2.

 Polynomdivision Beispiel 1 Bild 5

Das -x ziehen wir nun runter:

 Polynomdivision Beispiel 1 Bild 6

Jetzt geht alles wieder von vorne los. Also Division: -5x2 : x = -5x

 Polynomdivision Beispiel 1 Bild 7

Nun wieder eine Multiplikation in die andere Richtung: (-5x) · (x-1) = -5x2 + 5x

Nullstellen berechnen Polynomdivision Beispiel 1 Teil 8

Es erfolgt wieder eine Subtraktion:

Nullstellen berechnen Polynomdivision Beispiel 1 Teil 9

Wir ziehen + 6 runter um weiterrechnen zu können:

Nullstellen berechnen Polynomdivision Beispiel 1 Teil 10

Nun folgt wieder eine Division: (-6x) : x = -6

Nullstellen berechnen Polynomdivision Beispiel 1 Teil 12

Fehlt uns noch eine letzte Multiplikation: (-6) · (x-1) = -6x + 6

Nullstellen berechnen Polynomdivision Beispiel 1 Teil 13

Wenn wir nun Subtrahieren, bekommen wir eine 0 raus. Und von oben her (Zähler) gibt es nichts mehr nach unten zu ziehen. Die komplette Polynomdivision sieht damit wie folgt aus:

 Polynomdivision Beispiel 1 Teil 14

Wir sind mit der Polynomdivision nun fertig. Das Ergebnis der Division ist also x2 -5x -6.

Polynomdivision Aufgaben / Übungen

Aufgabe 1: In diesem Bereich findet ihr noch Aufgaben und Fragen zur Polynomdivision. Wer eine Frage oder Aufgabe nicht mag, der kann auf "Überspringen" klicken. Zur ersten Übung: Was kann man mit der Polynomdivision rausfinden?

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Videos zur Polynomdivision

Polynomdivision Rechenweg erklärt

Im ersten Video zur Polynomdivision wird zunächst erklärt, was ein Polynom ist. Danach wird am Beispiel (x³- 6x² + 9x - 4) : (x-1) ein Beispiel vorgerechnet. Dabei wird Schritt für Schritt erklärt, wie man das Dividieren, Multiplizieren und Subtrahieren durchführt. Es wird somit der Rechenweg der Polynomdivision erläutert. Und es wird erklärt, warum man die Polynomdivision braucht: Zum Auffinden von Nullstellen.

Das nächste Beispiel zeigt die Funktion f(x) = 2x³ - 5x² + 7x - 4 = 0. Hier weiß man zunächst nicht, wo die erste Nullstelle liegt. Daher erhaltet ihr einen Trick, wie man die erste Nullstelle erraten kann. Auch wird gezeigt, dass man später mit der PQ-Formel oder der ABC-Formel die verbleibenden Nullstellen finden kann. Letztlich kann man sehen, dass die Polynomdivision ähnlich wie die schriftliche Division abläuft. Dieses Video habe ich auf Youtube.com gefunden.


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Fragen und Antworten zur Polynomdivision

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen und Antworten zur Polynomdivision der Mathematik an.

F: Was ist los, wenn bei der Polynomdivision ein Rest entsteht?

A: Es gibt in diesem Fall zwei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ist, dass ihr euch bei der Rechnung verrechnet habt. Prüft also erst noch einmal nach, ob ihr irgendwo einen Fehler gemacht habt. Die andere Möglichkeit ist, dass ihr nicht durch eine Nullstelle teilt.

F: Wie ist das mit den Nullstellen?

A: Die Polynomdivision wird - zumindest in der Schule - dazu verwendet, um Nullstellen von Funktionen zu finden. Weitere Details zu diesem Thema findet ihr in unserem Artikel Nullstellen berechnen. Bei quadratischen Funktionen oder quadratischen Gleichungen könnt ihr hingegen auf die PQ-Formel zurückgreifen.


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