Zentrische Streckung / Stauchung
Geschrieben von: Dennis RudolphMittwoch, 29. August 2018 um 17:16 Uhr
Was eine zentrische Streckung ist und wie man sie durchführt, lernt ihr hier. Zum Inhalt:
- Eine Erklärung mit Definition und Eigenschaften einer zentrischen Streckung.
- Beispiele für eine einfache Einführung in die zentrische Streckung oder Stauchung.
- Aufgaben / Übungen um dies selbst zu üben
- Ein Video zu diesem Thema.
- Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.
Tipp: Wir führen die zentrische Streckung gleich bei einem Dreieck durch. Wer noch nicht weiß was ein Dreieck ist sieht bitte in den Artikel Dreieck rein.
Zentrische Streckung: Definition und Eigenschaften
Was ist überhaupt eine zentrische Streckung? Nun, das nächste Bild zeigt, wie aus einem kleinen grünen Dreieck ein großes rotes Dreieck geworden ist. Werft kurz einen Blick darauf. Bevor wir die Konstruktion besprechen, sehen wir uns aber ganz kurz eine Definition und die Eigenschaften der zentrischen Streckung an. Zunächst jedoch die Grafik:
Eine Definition der zentrische Streckung:
Durch eine zentrische Streckung werden alle Strecken in einem bestimmten Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Es entsteht eine vergrößerte oder verkleinerte Kopie eines Punktes, einer Strecke, einer Figur etc. In der Geometrie der Mathematik spricht man dabei von einer Abbildung.
Führt man dies aus, ergeben sich durch die zentrische Streckung folgende Eigenschaften:
- Die Längenverhältnisse bleiben erhalten.
- Die Winkel vom Streckzentrum zum Original und zur Abbildung (vergrößerte oder verkleinerte Kopie) sind gleich.
- Die Bildstrecke ist k-mal so lang wie die Ausgangsstrecke.
- Hat die Bildfigur die Fläche A' und die Ausgangsfigur die Fläche A dann lautet der Flächenzusammenhang A' = k2 · A.
Wie kann man die zentrische Streckung selbst ausführen? Dazu ein Beispiel im nächsten Abschnitt.
Anzeige:
Anzeigen:
Zentrische Streckung: Dreieck Beispiel
Die zentrische Streckung soll an einem Dreieck durchgeführt werden. Wir haben dazu ein Streckzentrum, welches mit S bezeichnet wird. Außerdem in grün gezeichnet ein Dreieck.
Die zentrische Streckung soll auf dieses angewendet werden. Es soll dabei ein Streckfaktor von 1,8 verwendet werden. Das bedeutet, dass jeder Eckpunkt von diesem Dreieck bei seiner Abbildung das 1,8fache von S entfernt sein wird. Klingt kompliziert, ist aber ganz einfach. Um dies zu erreichen, verbinden wir das Streckzentrum mit allen Eckpunkten und verlängern die Linien.
Wir messen die Längen der Strecken zwischen S und den Eckpunkten des grünen Dreiecks. Um dies zu verdeutlichen sind diese Längen in der nächsten Grafik einmal an die Linien geschrieben.
Die Längen vom Streckzentrum zu den Ecken sind 4,2 cm sowie 6,4 cm und 4,0 cm. Diese sollen nun 1,8fach solange werden. Aus diesem Grund nehmen wir die drei Längen und multiplizieren diese mit 1,8.
Um die Abbildung zu zeichnen, nehmen wir jetzt unsere drei neuen Längen und gehen bei der obersten Linie um 7,56 cm auf der Linie entlang. Bei der mittleren Linie 11,52 cm und 7,2 cm bei der unteren Linien. Dort machen wir jeweils eine kleine Markierung.
Diese drei roten Punkt verbinden wir jetzt. Dadurch erhalten wir eine Abbildung, deren Eckpunkte das 1,8fache weiter entfernt sind vom Streckzentrum als das Original.
Aufgaben / Übungen zentrische Streckung
Anzeigen:Video zentrische Streckung
Erklärung und Beispiele
Dies sind die Inhalte des nächsten Videos:
- Es wird erklärt, was die zentrische Streckung ist.
- Der Streckfaktor und das Streckzentrum werden vorgestellt.
- Es wird ein Beispiel vorgezeichnet zur zentrischen Streckung.
- Verschiedene Streckfaktoren werden behandelt.
Fragen mit Antworten Zentrische Streckung
In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur zentrische Streckung an.
F: Wie verhält sich der Flächeninhalt zwischen Originalbild und Abbildung?
A: Der Zusammenhang zwischen Original und Abbildung (vergrößerte oder verkleinerte Kopie) lautet A' = k2 · A. Nehmen wir an das Original hat einen Flächeninhalt von 3 cm2 und der Streckfaktor sei 1,3. Wie groß ist die Abbildung? Wir erhalten A' = 1,32 · 3 cm2 = 5,07 cm2.
F: Welche Besonderheiten bietet der Streckfaktor?
A: Je nachdem wie groß der Streckfaktor ist passieren unterschiedliche Dinge.
- Streckfaktor k > 1: Ist der Streckfaktor größer als 1 ist die Abbildung größer als das Original. Die Abbildung liegt dabei weiter weg vom Streckzentrum und in der selben Richtung wie das Original.
- Streckfaktor k = 1: Ist der Streckfaktor k = 1 liegen Original und Abbildung aufeinander.
- Streckfaktor k > 0 aber auch k < 1. Liegt der Streckfaktor zwischen 0 und 1 wird die Abbildung verkleinert und liegt näher am Streckzentrum als das Original.
- Streckfaktor k < 0: Ist der Streckfaktor negativ liegt die Abbildung auf der anderen Seite des Streckzentrums als das Original.
Wir lernen daraus, dass es nicht nur eine zentrische Streckung, sondern auch eine zentrische Stauchung gibt. Dies ist sozusagen eine zentrische Streckung als Verkleinerung.
F: Wie funktioniert die zentrische Streckung von einem Kreis?
A: Hier könnt ihr das Zentrum mit dem Streckfaktor multiplizieren und auch 1-2 Punkte auf dem Kreis. Dies tragt ihr ebenfalls auf den Linien ein. Mit dem Zirkel könnt ihr dann den neuen Kreis zeichnen: Beim Mittelpunkt einstechen und mit dem Zirkel den Randbereich erreichen.
F: Welches Thema sollte ich mir als nächstes ansehen?
Werft als nächstes einen Blick auf den Strahlensatz.
Neue Artikel
- Raute ▷ Formeln, Eigenschaften und Beispiele
- Sachaufgaben Klasse 5 Mathematik Aufgaben
- Sachaufgaben Mathe: Klasse 5
- Worte in Zahlen Aufgaben (Übungen)
- Worte in Zahlen umwandeln
- Teilerfremdheit (Mathematik)
- Hohlmaße umrechnen
- Hundertertafel Grundschule
- Quersumme berechnen und Teilbarkeit
- Quadratzahlen berechnen (mit Liste)