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Dreisatz: Proportional und Antiproportional

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 01. Januar 2018 um 11:41 Uhr

Was der Dreisatz ist und wie man damit rechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, welche Arten des Dreisatz es gibt und wie man damit rechnet.
  • Beispiele um den proportionalen und antiproportionalen Dreisatz anzuwenden.
  • Aufgaben / Übungen um dieses Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zum Dreisatz.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Hinweis: Wir sehen uns hier gleich die Grundlagen vom Dreisatz an. Wer hingegen nur lernen möchte, wie man Aufgaben der Prozentrechnung mit dem Dreisatz lösen kann, der sieht bitte direkt in Prozentrechnung durch Dreisatz.

Erklärung Dreisatz proportional

Fangen wir mit einer Definition für den Dreisatz an:

Hinweis:

Der Dreisatz ist ein Verfahren aus der Mathematik, bei dem man aus drei gegebenen Werten einen vierten Wert berechnen kann. Dabei müssen die Werte in einem gewissen Verhältnis zueinander stehen. Der Dreisatz ist ein Verfahren, welches in der Schulmathematik unterrichtet wird.

Man unterscheidet in der Mathematik zwischen dem geraden und dem ungeraden Dreisatz. Um dies verstehen zu können, sehen wir uns erst einmal ein paar ganz einfache Beispiele zu proportional und antiproportional an.

Beispiel proportional:

Ihr geht einkaufen. Dabei seht ihr ihr, dass eine Tafel Schokolade 1 Euro kostet. Würdet ihr zwei Tafeln Schokolade kaufen kostet euch das 2 Euro. Drei Tafeln Schokolade kosten 3 Euro und so weiter. Wichtig dabei: Es gibt keinen Mengenrabatt in diesem Beispiel. Für jede weitere Tafel Schokolade einen Euro mehr.

Dreisatz Beispiel Schokolade

So etwas nennt man eine proportionale Zuordnung: Doppelte Menge, doppelter Preis. Dreifache Menge für den dreifachen Preis und so weiter. Die Formel für so eine lineare Gleichung lautet:

Dreisatz lineare Funktion Formel

Solche proportionalen Aufgaben lassen sich mit einem geraden Dreisatz rechnen. Dabei liegen aber oft nicht Rechenaufgaben mit so einfachen Zahlen vor, sondern es wird etwas komplizierter. Außerdem erfährt man meistens nicht was 1 Stück kostet, sondern was eine größere Anzahl kostet.

Beispiel gerader Dreisatz:

Das Rezept für einen Kuchen ist für 4 Personen ausgelegt. In der Anleitung steht, dass bei 4 Personen 500 Gramm Mehl benötigt werden. Ihr möchtet jedoch mehr Kuchen machen, so dass dieser für 7 Personen reicht. Wie viel Mehl benötigt ihr jetzt?

Lösung:

Der Dreisatz funktioniert so, dass man in die erste Zeile die vorhanden Informationen schreibt. In diesem Fall 4 Personen und 500 Gramm.

Dreisatz Beispiel 1

Im Anschluss rechnet man diese Informationen runter auf eine Person (oder bei anderen Aufgaben runter auf 1 Prozent, 1 Stück etc.). Dazu müssen wir hier beide Angaben durch 4 teilen. Bei 500 Gramm dividiert durch 4 kommen wir auf 125 Gramm.

Dreisatz Beispiel 1b

Wir wissen jetzt, dass wir für eine Person 125 Gramm Mehl brauchen. Nun rechnen wir dies hoch auf 7 Personen. Dazu müssen wir auf beiden Seiten mit 7 multiplizieren. Pro Person 125 Gramm multipliziert mit 7 ergibt 875 Gramm Mehl.

Dreisatz Beispiel 1c

Mit diesem Dreisatz haben wir nun berechnet, dass wir 875 Gramm Mehl für 7 Personen benötigen.

Formel Dreisatz:

Die eben gezeigt Vorgehensweise sollte jeder durchführen, der noch nicht so sicher mit dem Dreisatz ist. Alternativ kann man so eine Aufgabe auch ganz schnell per Formel / Gleichung lösen. Dazu einfach das Ausgangsgewicht durch 4 dividieren und mit 7 multiplizieren.

Diese Formel bzw. Vorgehensweise kann allgemein auch für andere gerade Dreisätze angewendet werden. Dazu noch einmal den vollständigen Dreisatz mit farblicher Markierung und im Anschluss die Kurzberechnung (ebenfalls mit Markierung):

Dreisatz Beispiel 1 Formel Markierungen

Dreisatz Beispiel 1 Formel 2

Woher der Dreisatz seinen Namen hat, sieht man sehr schön an den drei Zeilen, welche man bei diesem verwendet:

Dreisatz: Warum dieser Name?

Beispiel Dreisatz antiproportional

Bei den proportionalen Zuordnungen weiter oben lief alles nach dem Motto "Je mehr, desto mehr". Je mehr Personen, desto mehr Mehl hatten wir im vorigen Beispiel. Dies ist nicht immer so. Es gibt auch antiproportionale Zuordnungen bzw. Zusammenhänge. Hier gilt das Motto "Je mehr, desto weniger"

Beispiel antiproportional:

Eine Lagerhalle wurde bei einem Hochwasser überflutet. Die Feuerwehr beginnt damit Pumpen aufzubauen, um das Wasser wieder aus der Lagerhalle zu bekommen. Der Verantwortliche schätzt, dass man mit 2 Pumpen die Halle in 3 Tagen von Wasser befreien könnte. Dem Betreiber der Lagerhalle ist dies zu lange. Er würde gerne in einem halben Tag (0,5 Tage) die Lagerhalle wieder wasserfrei haben.

Der logische Verstand sollte einem bei so einer Aufgabe bereits sagen, dass mehr Pumpen die Lagerhalle schneller vom Wasser befreien können als weniger Pumpen. Es gilt hier "Je mehr Pumpen, desto weniger Zeit". Proportionale Aufgaben lösen wir mit dem geraden Dreisatz und antiproportionale Aufgaben mit dem ungeraden Dreisatz.

Beispiel ungerader Dreisatz:

Nehmen wir das Beispiel von eben: 2 Pumpen brauchen 3 Tage um eine Lagerhalle von Wasser zu befreien. Wie viele Pumpen werden benötigt um es in 12 Stunden zu schaffen?

Lösung:

Wie auch beim geraden Dreisatz schreiben wir in die erste Zeile zunächst die Ausgangsinformationen: In 3 Tagen packen es 2 Pumpen.

Dreisatz Beispiel 2a

Um von 3 Tage auf 1 Tag zu kommen, teilen wir auf der linken Seite durch 3. Bei proportionalen Aufgaben macht man auf der rechten Seite genau das Gleiche. Wir haben hier jedoch eine antiproportionale Zuordnung. Daher teilen wir auf der rechten Seite nicht durch 3, sondern multiplizieren mit 3. Wir kommen damit zu dem Ergebnis, dass 6 Pumpen die Lagerhalle an einem einzigen Tag frei Pumpen könnten.

Dreisatz Beispiel 2b

Wir interessieren uns jedoch bei dieser Aufgabenstellung dafür, wie viele Pumpen man bräuchte um alles in einem halben Tag (12 Stunden) zu schaffen. Um von einem ganzen Tag auf einen halben Tag zu kommen, müssen wir noch einmal durch 2 dividieren. Und auch hier gilt: Wir haben einen antiproportionalen Dreisatz. Daher müssen wir rechts nicht durch 2 dividieren, sondern mit 2 multiplizieren.

Dreisatz Beispiel 2c

Die Antwort: Mit 12 Pumpen gelingt es die Lagerhalle in einem halben Tag von Wasser zu befreien (sieht man von Restfeuchtigkeit ab).

Aufgaben / Übungen zum Dreisatz

Aufgabe 1: Bevor wir rechnen kurz ein paar Wissensfragen. Wie nennt man das Gegenteil von proportional beim Dreisatz?

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Video Dreisatz

Beispiele proportionaler Dreisatz

In diesem Video geht es um den Dreisatz. Als Beispiel gibt es etwas aus der Praxis (nicht wie oft üblich nur graue Mathematik-Theorie): Ein Kuchenrezept ist für 4 Personen, jedoch kommen 9 Personen. Was an Zutaten wird nun benötigt?

Dazu trägt man in eine Tabelle die gegebenen Informationen ein. Um die gesuchte Menge zu berechnen, wird der Dreisatz bei dieser Aufgabe eingesetzt. Das gezeigte Beispiel ist proportional.Dieses Video habe ich auf Youtube.com gefunden.


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Fragen mit Antworten zum Dreisatz

In diesem Abschnitt findet ihr typische Fragen mit Antworten rund um den Dreisatz.

F: Was ist ein zusammengesetzter Dreisatz?

A: Weiter oben hatten wir den proportionalen und antiproportionalen Dreisatz. Der Dreisatz heißt Dreisatz, da man diesen in drei Zeilen löst. Muss man den Dreisatz bei einer Aufgabe jedoch mehrfach anwenden, dann spricht man von einem zusammengesetzten Dreisatz. Dieser wird in einigen Fällen auch Kettensatz genannt. Wie man solche Aufgaben löst, erfahrt ihr unter Zusammengesetzter Dreisatz / Kettensatz.

F: Wie findet man heraus, ob man einen geraden oder ungeraden Dreisatz anwenden muss?

A: Lest die Aufgabenstellung gründlich durch. Aus der Logik ergibt sich im Normalfall, ob es sich um eine proportionale Aufgabe mit geradem Dreisatz und eine antiproportionale Aufgabe mit ungeradem Dreisatz handelt. Im Beispiel weiter oben ist es logisch, dass mehr Pumpen mehr Wasser pumpen als weniger Pumpen. Wem dies nicht reicht, dem helfen vielleicht diese Fragen weiter:

  • Proportionalität (gerader Dreisatz): Je mehr, desto mehr:
    • Je mehr Stifte ich kaufe, desto mehr Geld muss ich ausgeben.
    • Je mehr Kuchen ich backe, desto mehr Zutaten muss ich kaufen.
  • Antiproportionalität (ungerader Dreisatz): Je mehr, desto weniger:
    • Je mehr Pumpen arbeiten, desto weniger Zeit benötigt es den Keller leer zu pumpen.
    • Je mehr Personen die Gewichte zum Ziel tragen, desto weniger lange dauert dies.

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