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Gleichung auflösen / umstellen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 20:30 Uhr

Wie man eine Gleichung auflösen bzw. umstellen kann, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wie man eine Gleichung nach einer Variablen (meist x) umstellen kann.
  • Viele Beispiele zum Auflösen von Gleichungen.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr alles selbst üben könnt.
  • Ein Video zu diesem Thema.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Hinweis: Beim Rechnen mit Gleichungen tauchen gleich Variablen (Buchstaben) auf. Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. Wer dazu erst noch mehr lesen möchte, kann gerne noch in Was ist eine Variable? rein sehen.


Erklärung Gleichung umstellen

Kommt euch dies aus der Grundschule noch bekannt vor?

Gleichung auflösen Erklärung 1

In den Kasten muss eine Zahl eingetragen werden, damit die Gleichung stimmt. Das wir eine Gleichung haben, sieht man am "=". Der Kasten ist ein Platzhalter für eine Zahl. Ab der Mittelstufe nennt man dies auch eine Variable und stellt dies mit einem Buchstaben dar. In der Schule wird die Variable oft x genannt.

Wir erhalten damit:

Gleichung umstellen Erklärung 2

Welche Zahl für x eingesetzt werden muss, sieht man auf den ersten Blick. Dies muss x = 5 sein. Damit erhalten wir 3 + 5 = 8.

Gleichung auflösen Erklärung 3

So einfach ist es nicht immer. Gleichungen können sehr viel komplizierter sein. Sie können mehr Zahlen (oder Variablen) beinhalten sowie Multiplikationen und Divisionen aufweisen. Anders ausgedrückt: Bei vielen Gleichungen sieht man das Ergebnis nicht auf den ersten Blick.

In der Mathematik benötigen wir daher Verfahren, um eine Variable berechnen zu können. Dazu müssen wir eine Gleichung nach einer Variablen auflösen bzw. nach dieser umstellen. Bevor wir uns Beispiele ansehen, zunächst einige wichtige Regeln und Hinweise.

Hinweis:

Regeln / Hinweise zum Umstellen von Gleichungen:

  • Beim Umstellen von Gleichungen muss auf beiden Seiten der gleiche Rechenschritt durchgeführt werden (zum Beispiel beide Seiten durch 3 teilen).
  • Durch die Zahl 0 (Null) darf nicht geteilt werden.
  • Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion.
  • Die Umkehrung der Subtraktion ist die Addition.
  • Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division.
  • Die Umkehrung der Division ist die Multiplikation.
  • Die Regel Punkt vor Strich muss beachtet werden.

Wie wendet man diese Regeln beim Umstellen von Gleichungen an? Sehen wir uns dazu eine Reihe an Beispielen mit Erklärungen an.

Beispiele Gleichung auflösen

Um eine Gleichung zu lösen, muss man nach der Unbekannten (Variablen) die Gleichung umstellen. Ist die Variable ein x, dann muss nach diesem x umgestellt werden. Wir haben am Ende damit "x = irgendwas". Sehen wir uns dies mit einigen Beispielen an. Wichtig: Rechenschritte können dabei hinter einen Strich geschrieben werden.

Beispiel 1:

Löse diese Gleichung nach x auf.

Gleichung auflösen Beispiel 1

Lösung:

Wir haben auf der linken Seite eine Addition stehen. Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion. Um die +7 auf der linken Seite zu entfernen, muss -7 auf beiden Seiten gerechnet werden.

Gleichung umstellen Beispiel 1 Lösung 1

Dies rechnen wir links und rechts aus. Auf der linken Seite fallen mit 7 - 7 die direkten Zahlen raus und es bleibt nur x übrig. Auf der rechten Seite haben wir 10 - 7 = 3.

Gleichung umstellen Beispiel 1 Lösung 2

Wir erhalten damit als Lösung x = 3. Wir setzen die 3 in die Ausgangsgleichung ein und sehen, dass wir mit 10 = 10 eine richtig gelöste Gleichung haben.

Gleichung umstellen Beispiel 1 Lösung 4

Beispiel 2:

Stelle diese Gleichung nach x um.

Gleichung lösen Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Damit wir auf der linken Seite der Gleichung nur ein x stehen haben, müssen wir die -3 beseitigen. Dies erreichen wir, indem wir + 3 rechnen. Das machen wir auf beiden Seiten der Gleichung. Wir erhalten damit x = 9 als Lösung.

Gleichung umstellen Beispiel 2 Lösung

Beispiel 3:

Neben Addition und Subtraktion gibt es noch die Multiplikation. Löse die nächste Aufgabe:

Gleichung umstellen Beispiel 3 Aufgabe

Lösung:

Auch hier haben wir mit x eine Unbekannte. Durch Umformen der Gleichung müssen wir auch hier nach x umstellen. Zwischen 3 und x haben wir ein Multiplikationszeichen stehen (selbst wenn es nicht geschrieben wird). Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. Wir müssen daher durch 3 teilen, um nach x aufzulösen.

Gleichung umstellen Beispiel 3 Lösung

Beispiel 4:

Fehlt uns noch die letzte Grundrechenart mit der Division. Das nächste Beispiel hat auf der linken Seite mit x : 4 eine Division, rechts haben eine 16. Wie groß ist x?

Gleichung auflösen Beispiel 4 Aufgabenstellung

Lösung:

Wir teilen bei der Gleichung durch 4. Um eine Division durch 4 umzukehren, müssen wir mit 4 multiplizieren. Dies tun wir auf beiden Seiten der Gleichung.

Gleichung umstellen Beispiel 4 Lösung

Beispiel 5:

Die ersten vier Beispiele waren einfache Gleichungen. Es wird nun Zeit auch einmal eine schwierigere Gleichung zu lösen. Die Variable nennen wir jetzt auch mal nicht x, sondern y. Dies ändert an der Berechnung jedoch nichts.

Gleichung umstellen Beispiel 5 Aufgabe

Lösung:

Wir haben auf der linken Seite Additionen und Multiplikationen bzw. eine Klammer. Auf der rechten Seite haben wir eine 15. Das Ziel ist nach y aufzulösen. Um nun nach y aufzulösen, müssen wir zunächst die Klammer auflösen. Dazu müssen wir die 4 vor der Klammer mit y sowie mit 2 multiplizieren.

Gleichung auflösen Beispiel 5 Lösung 1

Wir haben zwei Terme mit gleichen Variablen. Daher können wir 3y und 4y zusammenfassen (Siehe auch Terme vereinfachen).

Gleichung umstellen Beispiel 5 Lösung 2

Jetzt haben wir noch eine Addition auf der linken Seite. Eine Addition bekommt man weg, indem man subtrahiert. Um die +8 zu entfernen, müssen wir -8 rechnen.

Gleichung umstellen Beispiel 5 Lösung 3

Links steht noch 7 · y (kurz 7y). Um eine Multiplikation zu beseitigen, müssen wir dividieren. In diesem Fall durch 7. Wir erhalten damit y = 1.

Gleichung umstellen Beispiel 5 Lösung 4

Übungen Gleichungen auflösen

Aufgabe 1: Wie lautet die Lösung dieser Gleichung?

  • 5 + x = 10
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Du hast 0 von 9 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Gleichungen

Gleichheitszeichen

Ein Video direkt zu Gleichungen haben wir noch nicht. Allerdings ein Video, welches sich mit dem Gleichheitszeichen und dessen Bedeutung befasst. Dies sind sozusagen die Grundlagen zu Gleichungen. Werft daher ruhig auch darauf mal einen Blick.


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Fragen mit Antworten Gleichungen auflösen

In diesem Abschnitt geht es noch um typische Fragen mit Antworten zu Gleichungen.

F: Kann eine Gleichung auch mehr als eine Variable haben?

A: Ja, dies gibt es. Eine einzige Gleichung kann auch zwei oder noch mehr Variablen aufweisen. In diesem Fall kann man jedoch nicht die einzelnen Variablen ausrechnen, sondern diese nur in Abhängigkeit einer anderen Variablen ausdrücken.


F: Welche Arten von Gleichungen gibt es noch?

A: In der Schule behandelt man in der Regel lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen sowie kubische Gleichungen (Gleichungen mit höheren Potenzen). Im Studium gibt es dann zum Beispiel auch noch Differentialgleichungen.


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