Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 18. April 2020 um 15:48 Uhr

Was das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) ist und wozu man es braucht, lernt ihr hier. Dies sind die Themen:

  • Eine Erklärung, was das Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt ist.
  • Formel und Beispiel für das Berechnen vom Vektorprodukt.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zum Vektorprodukt.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Euch sollte bereits klar sein, was ein Vektor überhaupt ist. Falls ihr davon keine Ahnung habt, dann werft bitte erst einen Blick in die Vektoren Grundlagen. Ansonsten ran an das Vektorprodukt.


Kreuzprodukt: Formel und Berechnung

Was versteht man unter dem Kreuzprodukt? Definition und Eigenschaften Kreuzprodukt:

Hinweis:

Bildet man das Kreuzprodukt zweier Vektoren erhält man einen dritten Vektor. Dieser dritte Vektor steht senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren. Der Betrag dieses dritten Vektors entspricht der Fläche der beiden Ausgangsvektoren. Das Kreuzprodukt wird in der Mathematik auch als Vektorprodukt bezeichnet.

Die nächste Grafik zeigt den grünen Vektor a und den roten Vektor b. Bildet man das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren erhält man den blauen Vektor c. Dieser blaue Vektor steht senkrecht auf dem grünen Vektor und senkrecht auf dem roten Vektor.

Kreuzprodukt (Vektorprodukt) Vektoren

Die Vektoren a und b spannen eine Fläche auf (orange eingezeichnet in der nächsten Grafik). Bildet man den Betrag vom Vektor c erhält man die Größe dieser Fläche.

Kreuzprodukt (Vektorprodukt) Fläche

Formel Kreuzprodukt

Im einfachsten Fall berechnet man das Kreuzprodukt mit der Hilfe einer Formelsammlung. Dabei hat man zwei Vektoren (a und b) und dazwischen ein Kreuz als Zeichen für das Kreuzprodukt. Das Ergebnis hinter dem Istgleich ist ein weiterer Vektor, den man mit den beiden Ausgangsvektoren berechnet.

Kreuzprodukt / Vektorprodukt Formel




Vektorprodukt Beispiel und Fläche

In diesem Bereich sehen wir uns ein umfangreiches Beispiel zum Vektorprodukt an. Dabei geht es auch darum Anwendungen zu zeigen, die Verbindung zum Skalarprodukt deutlich zu machen und die Fläche zu berechnen, welche durch zwei Vektoren aufgespannt wird.

Beispiel 1: Vektorprodukt anwenden

Wir haben zwei Vektoren gegeben. Führe folgende Berechnungen durch:

1a) Berechne mit dem Kreuzprodukt den Vektor der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht.

1b) Weiße mit dem Skalarprodukt nach, dass der neue Vektor senkrecht zu den beiden Ausgangsvektoren steht.

1c) Wie groß ist die Fläche welche die beiden Ausgangsvektoren aufspannen?

Kreuzprodukt (Vektorprodukt) Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Mit der Formel von weiter oben berechnen wir das Vektorprodukt der beiden Vektoren. Für das Beispiel wurden bewusst einfache Zahlen verwendet um die Berechnung des Kreuzproduktes einfach nachvollziehen zu können.

Kreuzprodukt / Vektorprodukt Beispiel 1

Der Vektor mit -3, 6 und -3 steht senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren. Dies können wir noch einmal mit dem Skalarprodukt nachprüfen. Dazu nehmen wir den ersten der beiden Ausgangsvektoren mit 2, 3 und 4 und den eben berechneten Vektor -3, 6 und -3 und bilden Zeile für Zeile das Skalarprodukt.

Kreuzprodukt mit Skalarprodukt kontrollieren 1

Das Ergebnis ist 0, daher stehen diese beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Dies machen wir auch noch für den zweiten Ausgangsvektor und sehen ebenfalls 0 als Ergebnis. Daher haben wir das Kreuzprodukt richtig berechnet und den rechten Winkel bestätigt.

Kreuprodukt / Vektorprodukt Beispiel 1 Skalarprodukt 2

Fehlt uns noch die Fläche. Wir sollen die Fläche berechnen, welche die Vektoren a und b aufspannen. Wir nehmen das Kreuzprodukt aus den beiden Vektoren und bilden den Betrag davon. Dazu wird unter der Wurzel der x-Wert, der y-Wert und der z-Wert quadriert.

Vektorprodukt Fläche berechnen

Die beiden Ausgangsvektoren spannen damit eine Fläche von 7,35 Flächeneinheiten (= FE) auf.


Aufgaben / Übungen Kreuzprodukt

Aufgabe 1:

In diesem Bereich erhaltet ihr die Möglichkeit das Vektorprodukt zu üben. Da einige Schüler und Studenten jedoch bereits an einfachen Fragen scheitern, gibt es bei uns auch Fragen zum Thema.

  • Was erhält man wenn man mit zwei Vektoren das Vektorprodukt ausrechnet?
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Video Vektorprodukt

Erklärung und Beispiele

In diesem Video sehen wir uns das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) an. Dies wird behandelt:

  • Was versteht man unter dem Vektorprodukt?
  • Wie berechnet man dieses (Formel).
  • Was erhält man als Ergebnis vom Kreuzprodukt?
  • Beispiel wird vorgerechnet.
  • Berechnung der Fläche der beiden Vektoren.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zum Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Vektorprodukt an.

F: Wofür braucht man das Vektorprodukt?

A: Das Vektorprodukt dient dazu einen neuen Vektor zu erzeugen, der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht. Der Betrag dieses berechneten Vektors ist die Fläche der beiden Ausgangsvektoren. In der Mathematik benötigt man das Vektorprodukt somit im Bereich der Vektorrechnung bzw. analytischen Geometrie. In der Physik sind Anwendungen zum Beispiel Berechnungen beim Drehmoment oder Drehimpuls.

F: Was versteht man unter dem Parallelogramm beim Vektorprodukt?

A: Darunter versteht man die Fläche die zwei Vektoren aufspannen. Diese kann man mit Hilfe des Vektorprodukts bzw. Kreuzprodukts berechnen.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und werden sie nach der Veröffentlichung hier verlinken:

  • Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
  • Betrag / Länge eines Vektors
  • Rechnen mit Vektoren
  • Vektoren addieren
  • Vektoren subtrahieren
  • Mittelpunkt einer Strecke
  • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Spatprodukt
  • Abstand Punkt zu Gerade
  • Abstand paralleler Geraden
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