Was ist ein Vektor? Vektoren Grundlagen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 01. März 2020 um 14:11 Uhr

Was ist ein Vektor? Dies sehen wir uns hier an. Die Themen:

  • Eine Erklärung, was ein Vektor ist und wozu man diesen braucht.
  • Beispiele für die Verwendung von Vektoren.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu den Grundlagen der Vektorrechnung.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Ihr solltet bereits Koordinatensysteme kennen. Diese gibt es in der Ebene mit dem x-y-Koordinatensystem und im Raum mit dem x-y-z Koordinatensystem. Ihr solltet dabei auch wissen wie man Punkte in ein Koordinatensystem einträgt.


Vektor Definition und Vektor ablesen

Was ist überhaupt ein Vektor? Um dies zu verstehen - und auch wozu man einen Vektor braucht - nehmen wir uns einmal ein Koordinatensystem. In dieses zeichnen wir zwei Punkte ein mit A(1|0) und B(4|2).

Vektor Grundlagen: Koordinatensystem mit zwei Punkten

Wie kommt man in der Mathematik von A nach B? Dies muss man irgendwie doch angeben können? Dies geht auch und führt uns zum Begriff des Vektors. Grafisch handelt es sich dabei um einen Pfeil wie im nächsten Koordinatensystem eingezeichnet.

Vektor einzeichnen oder ablesen:

Vektor Grundlagen: Vektoren einzeichnen

Man kann einen Vektor ablesen. Der Vektor sagt in diesem Fall aus, dass ich von A nach B komme, indem ich um 3 nach rechts und 2 nach oben gehe. Ein Vektor erkennt man an einem Pfeil über einem Buchstaben oder an einem Pfeil über zwei Buchstaben (wie den beiden Punkten in der letzten Grafik):

Vektor Beispiel

Sehen wir uns noch eine Definition für einen Vektor an:

Hinweis:

Vektoren sind Größen, die durch Angabe einer Richtung und Länge beschrieben werden. Man erkennt sie in die Schreibweise daran, dass über einem Buchstaben ein Pfeil gesetzt wird. Sie werden auch dazu verwendet die Richtung von Kräften, Beschleunigungen etc. anzugeben.




Vektoren Beispiel und Begriffe

Sehen wir uns einmal ein Beispiel für die Verwendung von einem Vektor an. Nehmen wir dazu einen Klotz, der bewegt werden soll. Um dies zu erreichen ziehen wir an dem Klotz. Die Kraft die dabei eingesetzt wird bezeichnet man oft mit einem F. Über diesem F ist ein Pfeil, denn die Kraft wirkt in eine bestimmte Richtung.

Vektor Kraft

Bei einer physikalischen oder technischen Vektorgröße sollte man die Maßeinheit noch mit angeben. Im Falle einer Kraft wäre dies eine Angabe in Newton, zum Beispiel 100 N.

Vektoren Begriffe

Rund um Vektoren tauchen immer wieder einige wichtige Begriffe und Eigenschaften auf. Diese solltet ihr kennen:

  • Vektoren haben eine Länge (auch Betrag genannt).
  • Vektoren haben eine bestimmte Richtung.
  • Stimmen Länge und Richtung zweier Vektoren überein nennt man diese gleich.
  • Zwei Vektoren mit gleicher Richtung nennt man parallel.
  • Haben zwei Vektoren eine entgegengesetzte Richtung sind sie anti-parallel.
  • Startet ein Vektor im Ursprung des Koordinatensystems (x = 0, y = 0 und im Raum noch z = 0) nennt man diesen Ortsvektor.
  • Startet ein Vektor nicht im Ursprung des Koordinatensystems nennt man diesen Richtungsvektor.

Aufgaben / Übungen Vektor Grundlagen

Aufgabe 1: In diesem Bereich könnt ihr die Grundlagen der Vektorrechnung üben. Leider ist es oft so, dass viele Schüler und auch Studenten bereits an Begriffen zur Vektorrechnung scheitern. Daher bieten wir hier neben Aufgaben mit Zahlen auch noch ein paar Fragen zum Thema an.

  • Welche Aussage zur nächsten Grafik ist richtig?

Vektor Kraft

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Video Grundlagen Vektoren

Vektoren und Punkte

Dieses Video gibt einen ersten Einblick in die Grundlagen zu Vektoren. Oder etwas mathematischer ausgedrückt: die Grundlagen der Vektorgeometrie. Zunächst wird der dreidimensionale Raum eingeführt. Es wird somit der Sprung von einem 2D-Koordinatensystem zu einem 3D-Koordinatensystem durchgeführt. In ein 3D-System sollen nun Punkte wie zum Beispiel P = (1/2/1) eingezeichnet werden. Auch auf entsprechende Mehrdeutigkeiten wird eingegangen.

Als nächstes geht es um Vektoren, die vielleicht schon aus der Physik mit Kräften bekannt sind. Die Beschreibung eines Vektors wird im Anschluss besprochen (mit entsprechender Schreibweise für einen Vektor). Auch wie man einen Vektor von einem Punkt zu einem zweiten Punkt beschreibt, wird durch eine Aufgabe verdeutlicht. Auf bestimmte Eigenschaften und Begriffe rund um die Vektorgeometrie wird in diesem Video ebenfalls eingegangen. Dieses Video habe ich auf Youtube.com gefunden.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zu den Grundlagen der Vektorrechnung

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu den Grundlagen der Vektorrechnung an.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Die Grundlagen für die Vektorrechnung - wie zum Beispiel das Koordinatensystem - werden bereits in der Mittelstufe besprochen. Die Analytische Geometrie bzw. Vektorrechnung steht jedoch erst so richtig ab der Oberstufe auf dem Lehrplan und ist auch Teil des Abiturs. Auch in einigen Studiengängen wird die Vektorrechnung nach der Schule noch benötigt.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und werden sie nach der Veröffentlichung hier verlinken:

  • Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
  • Betrag / Länge eines Vektors
  • Rechnen mit Vektoren
  • Vektoren addieren
  • Vektoren subtrahieren
  • Mittelpunkt einer Strecke
  • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Spatprodukt
  • Abstand Punkt zu Gerade
  • Abstand paralleler Geraden
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