Skalarprodukt berechnen: Vektoren, Formel und Definition

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 14. März 2020 um 11:23 Uhr

Was das Skalarprodukt ist und wozu man es braucht, lernt ihr hier erklärt. Dies sind die Themen:

  • Eine Erklärung, was das Skalarprodukt ist.
  • Formeln und Beispiele für das Berechnen von einem Skalarprodukt.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zum Skalarprodukt.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Euch sollte bereits klar sein, was ein Vektor überhaupt ist. Falls ihr davon keine Ahnung habt, dann werft bitte erst einen Blick in die Vektoren Grundlagen. Ansonsten ran an das Skalarprodukt.


Skalarprodukt für zwei Vektoren

In der Vektorrechnung bzw. Analytischen Geometrie taucht bei Berechnungen oft das Skalarprodukt auf. Definition Skalarprodukt:

Hinweis:

Das Skalarprodukt - auch inneres Produkt gennant - ist eine mathematische Verknüpfung von zwei Vektoren bei der eine Zahl als Ergebnis rauskommt. Ein Malzeichen zwischen zwei Vektoren drückt aus, dass das Skalarprodukt berechnet werden soll. Dabei wird das Malzeichen öfters etwas dicker geschrieben Das Skalarprodukt wird zum Beispiel für die Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet.

Skalarprodukt Winkel zwischen a und b

Typischerweise tauchen zwei Formeln in der Mathematik auf im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt.

Formel Skalarprodukt ausrechnen

Die erste Formel dient dazu das Skalarprodukt auszurechnen.

Skalarprodukt berechnen Formel

Formel Winkel mit Skalarprodukt

Die zweite Formel wird verwendet um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen.

Skalarprodukt Winkel berechnen Formel

Was diese Formel bedeutet und wie man sie anwendet lernt ihr unter Skalarprodukt Winkel berechnen.




Skalarprodukt berechnen

Sehen wir uns zwei Beispiele an wie man das Skalarprodukt im Raum und in der Ebene ausrechnet und was das Ergebnis bedeutet.

Beispiel 1: Skalarprodukt im Raum

Sehen wir uns einmal eine einfache Berechnung des Skalarproduktes an. Dazu bilden wir das Skalarprodukt zweier räumlicher Vektoren. Verfolgt einfach die Berechnung Zeile für Zeile.

Skalarprodukt Beispiel 1

Hinweis: Ist das Skalarprodukt zwei Vektoren kleiner als 0 wie in diesem Beispiel dann ist der Winkel zwischen den Vektoren größer als 90 Grad. Wir sehen uns dies noch genauer an unter Skalarprodukt Winkel berechnen.

Beispiel 2: Skalarprodukt Null

Wir haben zwei Vektoren in der Ebene, in rot und grün eingezeichnet. Ermittel die Vektoren und berechne das Skalarprodukt.

Skalarprodukt Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Beide Vektoren starten im Ursprung. Der rote Vektor endet bei x = 3 und y = 3. Der grüne Vektor endet bei x = 3 und y = -3. Damit haben wir beide Vektoren und können ganz einfach Zeile für Zeile das Skalarprodukt beginnen zu rechnen.

Skalarprodukt Beispiel 2 Lösung

Das Ergebnis ist eine 0.

Hinweis:

Merke: Eine Null beim Skalarprodukt bedeutet, dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen, also der Winkel zwischen den Vektoren 90 Grad beträgt.


Aufgaben / Übungen Skalarprodukt

Aufgabe 1:

In diesem Bereich erhaltet ihr die Möglichkeit das Skalarprodukt zu üben. Da einige Schüler und Studenten jedoch bereits an einfachen Fragen scheitern, gibt es auch bei uns Fragen zum Thema.

  • Was erhält man wenn man Skalarprodukt ausrechnet?

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Video mit Skalarprodukt

Erklärung und Beispiele

In diesem Video beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der Vektorrechnung. Dies sind die Themen:

  • Vektor Addition mit Beispiel
  • Subtraktion Vektoren mit Aufgabe
  • Was ist ein Skalarprodukt?
  • Beispiel Skalarprodukt

Tipp: Versucht die Beispiele noch einmal selbst nachzurechnen.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zum Skalarprodukt

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Skalarprodukt an.

F: Was ist das Skalarprodukt zweier Vektoren? Was sagt uns das Skalarprodukt?

A: Das Skalarprodukt zweier Zahlen ist erst einmal eine Zahl ohne Maßeinheit. Die Zahl ist im Prinzip ein Maß für den Winkel zwischen den beiden Vektoren. Wie man diesen Winkel berechnet lernt ihr unter Skalarprodukt Winkel berechnen.

F: Wann ist ein Skalarprodukt 0?

A: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist 0 wenn die beiden Vektoren in einem rechten Winkel (90 Grad) zueinander stehen.

F: Zu den Rechenregeln. Ist das Skalarprodukt kommutativ oder distributiv?

A: Das Skalarprodukt ist sowohl kommutativ als auch distributiv. Dies ist auch logisch. Das Skalarprodukt ist ein Maß für den Winkel zwischen beiden Vektoren. Welchen Vektor ich bei der Berechnung zuerst nehme hat auf die Winkelgröße keinen Einfluss.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und werden sie nach der Veröffentlichung hier verlinken:

  • Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
  • Betrag / Länge eines Vektors
  • Rechnen mit Vektoren
  • Vektoren addieren
  • Vektoren subtrahieren
  • Mittelpunkt einer Strecke
  • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Spatprodukt
  • Abstand Punkt zu Gerade
  • Abstand paralleler Geraden
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