Lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren (Unabhängigkeit)

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 04. Mai 2020 um 17:19 Uhr

Die lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

  • Eine Erklärung, was lineare Abhängigkeit (Unabhängigkeit) bedeutet.
  • Beispiele um 3 Vektoren auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit zu prüfen.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Die lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren kann man entweder über das Lösen eines linearen Gleichungssystems prüfen oder über Determinanten. Wir sehen uns beide Verfahren hier noch an. Wer die Berechnung dennoch nicht nachvollziehen kann sollte das dabei verlinkte Vorwissen sich doch noch einmal genauer ansehen.


Lineare Abhängigkeit: Erklärung und LGS

Klären wir zunächst was man unter linearer Abhängigkeit oder linearer Unabhängigkeit von 3 Vektoren versteht. Dazu sehen wir uns zwei Grafiken an. In der ersten Grafik haben wir 3 Vektoren, die sich in einer Ebene befinden. Man nennt dies komplanar und dieses Vektoren sind linear abhängig.

Lineare Abhängigkeit komplanar in der Ebene

In der zweiten Grafik ist dies nicht so. Der linke Vektor zeigt nach oben während die anderen beiden Vektoren nach rechts unten oder links unten zeigen. Diese Vektoren liegen nicht in einer Ebene. Man bezeichnet dies als nicht komplanar und die Vektoren sind linear unabhängig.

Lineare Unabhängigkeit 3 Vektoren, nicht komplanar

Wie kann man 3 Vektoren rechnerisch auf lineare Abhängigkeit prüfen? Dazu gibt es 2 Möglichkeiten:

  • Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
  • Determinante aufstellen und berechnen

Beide Lösungswege sehen wir uns hier einmal an.

Beispiel 1: LGS lösen

Wir haben drei Vektoren. Prüfe mit einem linearen Gleichungssystem (kurz LGS), ob diese drei Vektoren linear Abhängig sind oder nicht.

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Mit den drei Vektoren stellen wir ein lineares Gleichungssystem auf. Wer nicht weiß was dies ist wirft einen Blick in lineare Gleichungssysteme lösen. Dieses Gleichungssystem besteht aus drei Zeilen mit drei Unbekannten (r, s und t). Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir eine Null.

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren Beispiel 1 Lösung LGS

Dieses lineare Gleichungssystem müssen wir lösen. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten. In der Oberstufe wird oft von den Schülern verlangt den Gauß Algorithmus zum Lösen zu verwenden. Daher verwenden wir diesen auch hier. Wer den folgenden Rechenweg nicht versteht, kann gerne noch einmal in den Hauptartikel Gauß Algorithmus reinsehen.

Um die Schreibarbeit zu verringern lassen wir das r, s und t einmal weg. Da dies dann auch keine Gleichungen mehr sind kommen die Nullen hinter einen Strich.

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren Beispiel 1 Lösung LGS Teil 2

Das Ziel vom Gauß-Verfahren besteht darin Nullen zu erzeugen. In der mittleren Zeile soll vorne eine Null stehen. In der unteren Zeile sollen die ersten beiden Spalten jeweils eine 0 sein. Um dies zu erreichen, versuchen wir in der ersten Spalte jeweils die gleiche Zahl zu erzeugen. In unserem Fall wäre es am einfachsten eine 4 zu erzeugen. Dazu müssen wir alle Zahlen der ersten Zeile mit 4 multiplizieren und alle Zahlen der zweiten Zahl mit 2 multiplizieren.

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren Beispiel 1 Lösung LGS Teil 3

Jetzt nehmen wir die erste Zeile und subtrahieren die zweite Zeile: 4 - 4 = 0, 12 - 2 = 10 und 28 - (-2) = 30. Danach nehmen wir die erste Zeile und subtrahieren die dritte Zeile: 4 - 4 = 0, 12 - 5 = 7 und 28 - 7 = 21.

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren Beispiel 1 Lösung LGS Teil 4

In Zeile 2 und 3 haben wir vorne bereits eine Null. Als nächstes brauchen wir in der mittleren Spalte zwei gleiche Zahlen in der mittleren und unteren Zeile. Dazu multiplizieren wir die mittlere Zeile mit 7 und die untere Zeile mit 10.

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren Beispiel 1 Lösung LGS Teil 5

Die mittlere Zeile minus der unteren Zeile ergibt 70 - 70 = 0 und 210 - 210 = 0. Der Rest sind ebenfalls Nullen.

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren Beispiel 1 Lösung LGS Teil 6

Wir haben eine Nullzeile unten. Eine Nullzeile bedeutet, dass die 3 Vektoren linear Abhängig sind.

Hinweis:

Wir ermitteln mit dem Gauß-Algorithmus die lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren.

  • Entsteht eine Nullzeile sind die Vektoren linear Abhängig.
  • Entsteht keine Nullzeile sind die Vektoren linear Unabhängig.




Lineare Abhängigkeit: Determinante und Variable

Neben dem Lösen eines linearen Gleichungssystems gibt es noch eine weitere Möglichkeit die lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von 3 Vektoren zu prüfen. Dazu verwenden wir eine Determinante. Außerdem zeigen wir euch noch was nötig ist um eine Variable so zu berechnen, dass 3 Vektoren linear Abhängig werden.

Beispiel 2: Determinante verwenden

Zeige mit einer Determinante, ob diese drei Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Die drei Vektoren schreiben wir in eine Determinante. Die 9 Zahlen stehen damit zwischen zwei Strichen.

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren Beispiel 2 Lösung Determinante Teil 1

Wie berechnet man die Determinante? Die allgemeine Beschreibung dazu ist diese:

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren, Determinante allgemein

Jetzt müssen wir einfach nur die Zahlen einsetzen.

Lineare Abhängigkeit 3 Vektoren Beispiel 2 Determinante Lösung Teil 2

Wir erhalten als Ergebnis der Determinante -4. Die Vektoren sind daher linear unabhängig, sie liegen daher nicht in einer Ebene.

Hinweis:

Wir merken uns:

  • Ergibt die Berechnung der Determinante = 0 sind die Vektoren linear abhängig.
  • Ergibt die Berechnung der Determinante ungleich 0 sind die Vektoren linear unabhängig.

Beispiel 3: Vektoren mit Variable linear abhängig machen

Was müsste beim letzten Beispiel verändert werden damit die Vektoren linear abhängig werden?

Lösung: Der erste Vektor beinhaltete die Zahlen 4, 1 und 1. Macht man daraus 4, 1 und 5 und berechnet danach die Determinante, dann wird diese 0. Wer es nicht glaubt, rechnet noch einmal nach. Ihr könnt anstatt der 4, 1 und 1 oder 4, 1 und 5 einfach 4, 1 und z einsetzen. Rechnet ihr die Determinante aus erhaltet ihr z - 5 = 0. Daher ist z = 5 wenn die Vektoren linear abhängig werden sollen.


Aufgaben / Übungen lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Aufgabe 1:

In diesem Bereich erhaltet ihr die Möglichkeit das Spatprodukt zu üben. Da einige Schüler und Studenten jedoch bereits an einfachen Fragen scheitern, gibt es bei uns auch Fragen zum Thema.

  • Ergänze den Satz: Verlaufen Vektoren parallel oder anti-parallel nennt man diese kollinear. Die Vektoren sind Vielfache voneinander, also....
Aufgabe überspringen »


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Video lineare Abhängigkeit (Unabhängigkeit)

Erklärungen und Beispiele

Das nächste Video befasst sich mit der lineare Abhängigkeit von zwei oder drei Vektoren. Dies sind die Themen:

  • Warum prüft man die Abhängigkeit von Vektoren?
  • Prüfung in der Ebene (2D)
  • Prüfung im Raum (3D)

Ich empfehle euch die Aufgaben in dem Video noch einmal selbst per Hand nachzurechnen.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten lineare Abhängigkeit 3 Vektoren

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur linearen Abhängigkeit (Unabhängigkeit) bei drei Vektoren an.

F: Soll ich die Aufgaben lieber mit LGS oder Determinante rechnen?

A: Wenn ihr einen Taschenrechner verwenden dürft ist es ziemlich egal. In diesem Fall könnt einfach die Variante nehmen, die ihr beim Taschenrechner beherrscht. Falls ihr von Hand rechnen müsst: Wenn ihr eine Formelsammlung zur Verfügung habt (oder den Satz von Sarrus kennt) ist die Determinante einfacher und weniger fehleranfällig. Beim Rechnen mit dem linearen Gleichungssystem (LGS) verrechnet man sich doch recht schnell.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Die lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren wird in der Oberstufe behandelt, meistens ab der 11. Klasse.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und werden sie nach der Veröffentlichung hier verlinken:

  • Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
  • Betrag / Länge eines Vektors
  • Rechnen mit Vektoren
  • Vektoren addieren
  • Vektoren subtrahieren
  • Mittelpunkt einer Strecke
  • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Spatprodukt
  • Abstand Punkt zu Gerade
  • Abstand paralleler Geraden

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