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Mitternachtsformel: Beispiele und Erklärung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Dienstag, 26. Juni 2018 um 12:38 Uhr

Was die Mitternachtsformel ist und wie man sie einsetzt, lernt ihr hier. Diese Inhalte sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was die Mitternachtsformel ist und wozu man sie braucht.
  • Beispiele zum Anwenden der Mitternachtsformel.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Ein Video zur Mitternachtsformel.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Hinweis: Die Mitternachtsformel wird manchmal auch ABC-Formel genannt. Wer die Mitternachtsformel nicht mag, kann die Aufgaben dazu auch mit der PQ-Formel lösen.

Erklärung: Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel verwendet man in Mathe dazu quadratische Funktionen oder Gleichungen zu lösen. Quadratische Gleichungen bzw. Funktionen sehen im Allgemeinen so aus:

Mitternachtsformel Quadratische Funktion / Gleichung allgemein

Sehen wir uns noch einige Beispiele für quadratische Funktionen / Gleichungen an:

Mitternachtsformel Quadratische Gleichung / Funktion Beispiele

Mit der Mitternachtsformel kann man Nullstellen ausrechnen. Nullstellen sind genau die Stellen, bei denen y = 0 ist. Es sind damit die Stellen, an denen der Funktionsverlauf die x-Achse schneidet. Die nächste Grafik zeigt ein Beispiel dazu. Die Nullstellen sind dabei in rot eingekreist.

Mitternachtsformel: Wo liegen Nullstellen?

Bei den beiden roten eingekreisten Stellen - also den Nullstellen - ist y = 0. Dies nutzen wir bei der mathematischen Berechnung aus. Haben wir eine quadratische Funktion oder quadratische Gleichung und suchen bei dieser die Nullstellen, dann müssen wir die Gleichung in eine Form mit = 0 bringen. Danach kann die Mitternachtsformel verwendet werden, um die Nullstellen zu berechnen. Die allgemeine Form:

Mitternachtsformel allgemeine Form Allgemein

Ob die quadratische Gleichung eine, zwei oder gar keine Nullstellen hat, hängt von dem ab, was unter der Wurzel steht. Man wirft damit einen Blick auf die Diskriminante. Dies sehen wir uns auch bei den Beispielen im nächsten Abschnitt an.

Beispiele Mitternachtsformel

Sehen wir uns einige Beispiele zur Mitternachtsformel an. Dabei sehen wir uns die Frage an: Wie kann man die Mitternachtsformel einsetzen?

Beispiel 1: Mitternachtsformel mit zwei Nullstellen

Wir haben die Gleichung 3x2 + 9x + 5 = -1. Wo liegen die Nullstellen?

Lösung:

Wir formen diese quadratische Gleichung zunächst so um, dass wir ein = 0 erhalten. Danach lesen wir a, b und c einfach ab. Dies wurde in diesem Beispiel der Einfachheit farblich markiert. Wir können dies im Anschluss in die Mitternachtsformel einsetzen. Wir rechnen zunächst alles unter der Wurzel aus und erhalten hier eine 9. Die Wurzel aus der 9 ziehen wir und erhalten eine 3. Als nächstes können wir beide Nullstellen ausrechnen. Dabei nehmen wir einmal ein Plus vor der 3 und einmal ein Minus vor der 3 und rechnen dies aus.

Mitternachtsformel Beispiel 1

Wir erhalten damit die Nullstellen bei x = -1 und x = -2.

Beispiel 2: Mitternachtsformel ohne Nullstellen

Im zweiten Beispiel haben wir die quadratische Gleichung 2x2 + 3x + 30 = 0. Wo liegen hier die Nullstellen?

Lösung:

Diese quadratische Gleichung ist bereits in der Form mit = 0. Daher müssen wir hier keine Umformung durchführen. Aus dieser Form können wird direkt a = 2, b = 3 und c = 30 ablesen. Dies setzen wir in die Lösungsformel ein. Dabei entsteht eine "Schwierigkeit". Die Diskriminante - also das was unter der Wurzel steht - wird jetzt negativ. In der Schule lernt man, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen darf. Daher ist die Berechnung an dieser Stelle fertig und es gibt keinerlei Nullstellen.

Mitternachtsformel Beispiel 2

Beispiel 3: Mitternachtsformel doppelte Nullstelle

Gegeben sei die quadratische Gleichung x2 + 4x + 4 = 0. Berechne mit der Mitternachtsformel die Nullstellen.

Lösung:

Wir können direkt a = 1, b = 4 und c = 4 aus der Gleichung ablesen. Dies setzen wir in die Gleichung für die Lösung ein. Unter der Wurzel entsteht dabei eine Null. Dies führt bei der Berechnung mit plus und mit minus vor der Null dazu, dass wir zwei Mal die selbe Zahl für x erhalten. Bei x = -2 liegt damit eine Nullstelle vor. Dies bezeichnet man als doppelte Nullstelle.

Mitternachtsformel Beispiel 3

Aufgaben / Übungen Mitternachtsformel

Aufgabe 1: Bevor wir rechnen kurz ein paar (einfache) Fragen. Was kann man mit der ABC-Formel lösen?

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Video Mitternachtsformel

Beispiele und Erklärungen

In diesem Video sehen wir uns die Mitternachtsformel an:

  • Was ist die Mitternachtsformel?
  • Was macht man mit dieser Formel?
  • Es werden Beispiele damit vorgerechnet.

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Fragen mit Antworten zur Mitternachtsformel

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Mitternachtsformel an.

F: Wo liegt der Unterschied zwischen der PQ-Formel und der Mitternachtsformel?

A: Bei der PQ-Formel muss vor x2 stets eine 1 stehen. Liegt hier keine 1 vor, musste man die Gleichung umformen, um diese 1 zu erzeugen. Bei der Mitternachtsformel ist dies nicht der Fall. Hier ist bei der Lösung die Zahl vor x2 einfach das a und kann direkt abgelesen werden. Sowohl bei der Mitternachtsformel als auch bei der PQ-Formel muss jedoch die Gleichung so umgeformt werden, dass wir = 0 dabei haben. Wer noch mehr zur PQ-Formel lernen möchte, sieht bitte in den Artikel PQ-Formel rein.

F: Was sagt die Diskriminante bei der Mitternachtsformel aus?

A: Die Diskriminante ist das, was man bei der Mitternachtsformel unter der Wurzel hat. Hier gibt es drei Möglichkeiten:

  • Die Diskriminante ist größer als Null: In diesem Fall liegen zwei Nullstellen vor.
  • Die Diskriminante ist kleiner als Null: In diesem Fall gibt keine Nullstellen (im reellen).
  • Die Diskriminante ist genau Null: In diesem Fall gibt es eine (doppelte) Nullstelle.

F: Gibt es die Mitternachtsformel auch ohne c?

A: Zum Beispiel bei der quadratischen Gleichung x2 + 3x = 0 gibt es kein c. In diesem Fall wird c einfach mit c = 0 in die Lösungsformel eingesetzt und gerechnet.

F: Wieso heißt es Mitternachtsformel?

A: Angeblich heißt diese Formel so, da Schüler diese auch um Mitternacht aus dem Gedächtnis aufsagen können sollten. Soweit zumindest das Gerücht zum Namen. Ob dieses wirklich stimmt, kann ich jedoch nicht sagen.

F: Wie kann man die Mitternachtsformel herleiten?

A: Die Herleitung / Beweise zur Mitternachtsformel findet ihr unter ABC-Formel Herleitung / Beweis.


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