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ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel Herleitung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Freitag, 29. Juni 2018 um 15:41 Uhr

Die Herleitung bzw. den Beweis für die Mitternachtsformel (ABC-Formel) findet ihr hier. Diese Inhalte sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wie man die ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel herleitet.
  • Ein Beispiel wie man die Herleitung durchführt.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr die Anwendung der Formel üben könnt.
  • Ein Video zur Herleitung der Mitternachtsformel / ABC-Formel.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Hinweis: Wer sich für das Rechnen von Aufgaben mit der Formel interessiert schaut bitte noch in Mitternachtsformel oder ABC-Formel rein.

Herleitung Mitternachtsformel / ABC-Formel

Wie kommt man eigentlich auf so Formeln wie die Mitternachtsformel? Irgend jemand muss sich dies doch einmal ausgedacht haben. Wie kommt man nun von der quadratischen Gleichung / Funktion auf die Lösungsgleichung?

Mitternachtsformel Herleitung Von und zu

Ein paar Hinweis zum besseren Verständnis:

  1. Es gibt mehrere Wege die ABC-Formel (Mitternachtsformel) herzuleiten. Aus diesem Grund werden andere Quellen durchaus andere Herleitungen aufweisen.
  2. Wir haben uns hier für den Weg entschieden, der mit den unserer Meinung nach geringsten Vorkenntnissen durchzuführen ist.
  3. Dennoch geht es nicht ganz ohne Vorwissen. Ihr solltet unbedingt fit sein bei der Anwendung der Binomischen Formeln, insbesondere der 1. Binomischen Formel. Wer diese nicht kennt lernt bitte erst unter Binomische Formeln weiter.

Alles klar? Sehen wir uns die Herleitung für die Mitternachtsformel Stück für Stück einmal an.

Mitternachtsformel Beweis

Wir starten mit der Gleichung

Mitternachtsformel Herleitung Teil 1

Wir subtrahieren zunächst c. Dadurch erhalten wir -c auf der rechten Seite.

Mitternachtsformel Herleitung Teil 2

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 4a. Wir erhalten dadurch:

Mitternachtsformel Herleitung Lösung Teil 3

Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung b2.

Mitternachtsformel Herleitung Lösung Teil 4

Sieht jemand in der letzten Gleichung etwas besonderes? Seht genau hin! Auf der linken Seite steckt die 1. Binomische Formel. Wer sich an diese nicht mehr erinnert findet sie in der nächsten Zeile:

Mitternachtsformel Herleitung Teil 5

Ihr habt noch immer keine Ahnung davon? In diesem Fall werft bitte erst einmal einen Blick auf die Inhalte unter Binomische Formeln. Wir wenden die 1. Binomische Formel auf die linke Seite an.

Mitternachtsformel Herleitung Lösung 6

Zur Erinnerung: Auf der rechten Seite haben wir noch immer -4ac + b2. Die linke Seite haben wir umgewandelt:

Mitternachtsformel Herleitung Lösung Teil 8

Auf die linke Seite wenden wenden wir jetzt die erste Binomische Formel an und erhalten:

Mitternachtsformel Herleitung Lösung Teil 9

Wir ziehen auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel. Beachtet dabei, dass vor die Wurzel ein plus und ein minus gehört:

Mitternachtsformel Herleitung Lösung Teil 10

Wir subtrahieren b auf die andere Seite:

Mitternachtsformel Herleitung Lösung Teil 11

Die dividieren noch durch 2a.

Mitternachtsformel Herleitung Bild 12

Da es zwei Lösungen sind schreibt man es meistens mit x1/2.

Mitternachtsformel Herleitung Lösung Bild 13


Fertig!

Aufgaben / Übungen Mitternachtsformel

Aufgabe 1: Bevor wir rechnen kurz ein paar (einfache) Fragen. Was kann man mit der ABC-Formel lösen?

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Du hast 0 von 5 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Mitternachtsformel Herleitung

Beweis Video ABC-Formel

Dieses Video liefert für die Mitternachtsformel bzw. die ABC-Formel eine Herleitung bzw. einen Beweis. Zum besseren Verständnis wird auch noch eine Gleichung gelöst, um die entsprechenden Nullstellen zu finden. Das nächste Video stammt von Youtube.com.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Mitternachtsformel

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Mitternachtsformel an.

F: Welche weiterführenden Inhalte sollte ich mir noch ansehen?
A: Seht euch doch noch diese Themen an:

  • PQ-Formel: Die PQ-Formel ist eine Alternative zur ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel. Wir haben dazu aber noch einen Extra-Artikel. Diesen findet ihr unter dem Link PQ-Formel.
  • Polynomdivision: Die Polynomdivision dient auch dem Auffinden von Nullstellen. Ausführlich besprechen wir die Polynomdivision auch noch in unserem Artikel Polynomdivision.
  • Nullstellen berechnen: Die ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel dient dem Auffinden von Nullstellen. Einen kompletten Artikel zu diesem Thema findet ihr unter Nullstellen berechnen.

Ansonsten natürlich die Anwendung der hier hergeleiteten Formel unter Mitternachtsformel oder ABC-Formel.

F: Wann wird die Mitternachtsformel in der Schule behandelt?

A: Die Mitternachtsformel steht meistens ab der 8. Klasse auf dem Lehrplan.


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