Skalarprodukt Winkel zwischen Vektoren mit Formel
Geschrieben von: Dennis RudolphSamstag, 14. März 2020 um 11:50 Uhr
Wie man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet, lernt ihr hier. Dies sind die Themen:
- Eine Erklärung, wie man das Skalarprodukt nutzt.
- Formeln und Beispiele für die Rechnung mit dem Skalarprodukt.
- Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
- Ein Video zum Skalarprodukt.
- Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.
Tipp: Um die Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, benötigt man die Länge von einem Vektor uns das Skalarprodukt. Wir werden beides hier noch einmal behandeln soweit benötigt. Wer dies ausführlicher noch lernen möchte wirft einen Blick in Länge eines Vektors und Skalarprodukt.
Skalarprodukt: Winkel zwischen zwei Vektoren
Eine Anwendung vom Skalarprodukt besteht darin den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen.
Die Formel um die Berechnung durchzuführen wird den einen oder anderen Schüler oder Studenten etwas erschrecken. Natürlich muss die Formel der Vollständigkeit wegen angegeben werden.
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen muss man diese Formel natürlich nach dem Winkel Alpha umstellen.
Formel Skalarprodukt nach Winkel umgestellt:
Dies sagt die Formel:
- Links haben wir den Cosinus von Alpha. Bei der Berechnung des Winkels müsst ihr den Taschenrechner auf DEG stellen. Dies sehen wir auch gleich bei den Beispielen.
- Im Zähler haben wir das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
- Im Nenner müssen wir die Länge jedes Vektors berechnen und die beiden miteinander multiplizieren.
Im nächsten Abschnitt sehen wir uns Beispiele an.
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Winkel mit Skalarprodukt Beispiele
Sehen wir uns an wie man die Winkelberechnung in Ebene und Raum durchführt.
Beispiel 1: Winkel Raum
Wie groß ist der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren?
Lösung:
Im ersten Schritt bilden wir das Skalarprodukt. Die allgemeine Formel lautet:
Wir setzen die Zahlen der beiden Vektoren ein und erhalten 32 als Ergebnis:
Fehlt uns noch die Länge der beiden Vektoren. Dazu quadrieren wir unter der Wurzel die einzelnen Zahlen.
Das Skalarprodukt und die Längen der beiden Vektoren setzen wir in die Formel ein. Um Alpha zu berechnen müssen wir den Taschenrechner auf DEG stellen. Mit arccos(0,9756) erhalten wir einen Winkel von etwa 13 Grad.
Beispiel 2: Winkel Ebene
Wir haben zwei Vektoren in der Ebene, welche im nächsten Bild eingezeichnet sind. Berechne den Winkel mit dem Skalarprodukt.
Lösung:
Beide Vektoren starten im Ursprung des Koordinatensystems. Der rote Vektor endet bei x = 3 und y = 3. Der grüne Vektor endet bei x = 3 und y = -3. Das Skalarprodukt bilden wir, indem wir in jeder Zeile multiplizieren und dazwischen ein Pluszeichen setzen.
Wir berechnen noch die Länge eines Vektors. Oder besser gesagt: Wir berechnen die Länge beider Vektoren. Unter einer Wurzel quadrieren wir dazu jede Zahl des Vektors und addieren diese.
Damit können wir den Winkel zwischen den beiden Vektoren berechnen. Wichtig: Taschenrechner auf DEG stellen und arccos (0) eingeben. Erst danach den arccos von 0 berechnen.
Aufgaben / Übungen Skalarprodukt
Anzeigen:Video mit Skalarprodukt
Umgang mit Vektoren
In diesem Video beschäftigen wir uns mit der Vektorrechnung und den entsprechenden Grundlagen. Dies sind die Themen:
- Vektor Addition mit Aufgabe
- Subtraktion Vektoren mit Beispiel
- Das Skalarprodukt mit Vektoren?
- Beispiel Skalarprodukt mit Zahlen
Tipp: Versucht die Aufgaben noch einmal selbst nachzurechnen.
Nächstes Video »
Fragen mit Antworten Skalarprodukt Winkelberechnung
In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Winkelberechnung mit dem Skalarprodukt an.
F: Was ist das Skalarprodukt?
A: Das Skalarprodukt zweier Zahlen ist erst einmal eine Zahl ohne Einheit. Mit der entsprechenden Formel lässt sich mit dem Skalarprodukt der Winkel zwischen zwei Vektoren ausrechnen.
F: Wann ist ein Skalarprodukt 0?
A: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist 0 wenn die beiden Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen.
F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?
A: Das Skalarprodukt wird ab der 11. Klasse in der Schule behandelt und steht bis zum Abitur auf dem Lehrplan.
F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?
A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und werden sie nach der Veröffentlichung hier verlinken:
- Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
- Betrag / Länge eines Vektors
- Rechnen mit Vektoren
- Vektoren addieren
- Vektoren subtrahieren
- Mittelpunkt einer Strecke
- Vektorprodukt / Kreuzprodukt
- Spatprodukt
- Abstand Punkt zu Gerade
- Abstand paralleler Geraden
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