Skalarprodukt Winkel zwischen Vektoren mit Formel

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 14. März 2020 um 11:50 Uhr

Wie man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet, lernt ihr hier. Dies sind die Themen:

  • Eine Erklärung, wie man das Skalarprodukt nutzt.
  • Formeln und Beispiele für die Rechnung mit dem Skalarprodukt.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zum Skalarprodukt.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Um die Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, benötigt man die Länge von einem Vektor uns das Skalarprodukt. Wir werden beides hier noch einmal behandeln soweit benötigt. Wer dies ausführlicher noch lernen möchte wirft einen Blick in Länge eines Vektors und Skalarprodukt.


Skalarprodukt: Winkel zwischen zwei Vektoren

Eine Anwendung vom Skalarprodukt besteht darin den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen.

Skalarprodukt Winkel zwischen a und b

Die Formel um die Berechnung durchzuführen wird den einen oder anderen Schüler oder Studenten etwas erschrecken. Natürlich muss die Formel der Vollständigkeit wegen angegeben werden.

Skalarprodukt Winkel berechnen Formel

Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen muss man diese Formel natürlich nach dem Winkel Alpha umstellen.

Formel Skalarprodukt nach Winkel umgestellt:

Skalarprodukt Winkel berechnen Formel

Dies sagt die Formel:

  • Links haben wir den Cosinus von Alpha. Bei der Berechnung des Winkels müsst ihr den Taschenrechner auf DEG stellen. Dies sehen wir auch gleich bei den Beispielen.
  • Im Zähler haben wir das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
  • Im Nenner müssen wir die Länge jedes Vektors berechnen und die beiden miteinander multiplizieren.

Im nächsten Abschnitt sehen wir uns Beispiele an.




Winkel mit Skalarprodukt Beispiele

Sehen wir uns an wie man die Winkelberechnung in Ebene und Raum durchführt.

Beispiel 1: Winkel Raum

Wie groß ist der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren?

Skalarprodukt Raum Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Im ersten Schritt bilden wir das Skalarprodukt. Die allgemeine Formel lautet:

Skalarprodukt Raum Formel

Wir setzen die Zahlen der beiden Vektoren ein und erhalten 32 als Ergebnis:

Skalarprodukt Raum Beispiel Lösung 1

Fehlt uns noch die Länge der beiden Vektoren. Dazu quadrieren wir unter der Wurzel die einzelnen Zahlen.

Skalarprodukt Raum Beispiel 1 Lösung Betrag Vektoren

Das Skalarprodukt und die Längen der beiden Vektoren setzen wir in die Formel ein. Um Alpha zu berechnen müssen wir den Taschenrechner auf DEG stellen. Mit arccos(0,9756) erhalten wir einen Winkel von etwa 13 Grad.

Skalarprodukt Raum Beispiel Lösung Winkel

Beispiel 2: Winkel Ebene

Wir haben zwei Vektoren in der Ebene, welche im nächsten Bild eingezeichnet sind. Berechne den Winkel mit dem Skalarprodukt.

Skalarprodukt Winkel Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Beide Vektoren starten im Ursprung des Koordinatensystems. Der rote Vektor endet bei x = 3 und y = 3. Der grüne Vektor endet bei x = 3 und y = -3. Das Skalarprodukt bilden wir, indem wir in jeder Zeile multiplizieren und dazwischen ein Pluszeichen setzen.

Skalarprodukt Beispiel 1 Lösung 1

Wir berechnen noch die Länge eines Vektors. Oder besser gesagt: Wir berechnen die Länge beider Vektoren. Unter einer Wurzel quadrieren wir dazu jede Zahl des Vektors und addieren diese.

Skalarprodukt Beispiel 1 Lösung 2b, Betrag Vektor

Damit können wir den Winkel zwischen den beiden Vektoren berechnen. Wichtig: Taschenrechner auf DEG stellen und arccos (0) eingeben. Erst danach den arccos von 0 berechnen.

Skalarprodukt Beispiel 1 Lösung Teil 3


Aufgaben / Übungen Skalarprodukt

Aufgabe 1:

In diesem Bereich erhaltet ihr die Möglichkeit das Skalarprodukt zu üben. Da einige Schüler und Studenten jedoch bereits an einfachen Fragen scheitern, gibt es auch bei uns Fragen zum Thema.

  • Was erhält man wenn man Skalarprodukt ausrechnet?

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Video mit Skalarprodukt

Umgang mit Vektoren

In diesem Video beschäftigen wir uns mit der Vektorrechnung und den entsprechenden Grundlagen. Dies sind die Themen:

  • Vektor Addition mit Aufgabe
  • Subtraktion Vektoren mit Beispiel
  • Das Skalarprodukt mit Vektoren?
  • Beispiel Skalarprodukt mit Zahlen

Tipp: Versucht die Aufgaben noch einmal selbst nachzurechnen.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Skalarprodukt Winkelberechnung

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Winkelberechnung mit dem Skalarprodukt an.

F: Was ist das Skalarprodukt?

A: Das Skalarprodukt zweier Zahlen ist erst einmal eine Zahl ohne Einheit. Mit der entsprechenden Formel lässt sich mit dem Skalarprodukt der Winkel zwischen zwei Vektoren ausrechnen.

F: Wann ist ein Skalarprodukt 0?

A: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist 0 wenn die beiden Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Das Skalarprodukt wird ab der 11. Klasse in der Schule behandelt und steht bis zum Abitur auf dem Lehrplan.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und werden sie nach der Veröffentlichung hier verlinken:

  • Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
  • Betrag / Länge eines Vektors
  • Rechnen mit Vektoren
  • Vektoren addieren
  • Vektoren subtrahieren
  • Mittelpunkt einer Strecke
  • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Spatprodukt
  • Abstand Punkt zu Gerade
  • Abstand paralleler Geraden
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