Länge (Betrag) eines Vektors berechnen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 07. März 2020 um 10:58 Uhr

Wie man den Betrag (= Länge) eins Vektors berechnet, lernt ihr hier. Dies sind die Themen:

  • Eine Erklärung, wie man die Länge von einem Vektor berechnet.
  • Beispiele für Vektorlängen in Ebene und Raum.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Längenberechnung von Vektoren.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits wisst, was ein Koordinatensystem ist und was ein Vektor ist. Wer davon noch keine Ahnung hat, wirft einen Blick auf x-y-z Koordinatensystem und Vektoren Grundlagen.


Betrag eines 2D-Vektors

Vektoren gibt es in der Ebene (2D) und im Raum (3D). Starten wir mit der Länge eines ebenen Vektors. Dazu haben wir einen Vektor (erkennt man an dem Pfeil über dem v) mit x und y. Die Länge dieses Vektors berechnet man in dem man die Wurzel aus x2 + y2 zieht. Der Betrag des Vektors erkennt man an der Schreibweise mit zwei Betragsstrichen.

Länge ebener Vektor Formel

Betrag / Länge 2D Vektor Formel

Beispiel 1: Länge ebener Vektor

Wie lange ist der blaue Vektor?

Betrag (Länge) eines Vektors Beispiel 1

Lösung:

Der Punkt A liegt bei x = 1 und y = 0, also A (1|0). Der Punkt B liegt bei x = 4 und y = 2, also B (4|2). Um von A nach B zu kommen müssen wir in x-Richtung um 3 nach rechts und in y-Richtung um 2 nach oben gehen. Daher ist unser Vektor dieser hier:

Länge Vektor 2D Beispiel 1 Vektorangabe

Die Länge des Vektors berechnen wir mit der Formel von weiter oben.

Betrag eines ebenen Vektors Beispiel 1 Lösung

Länge Vektor Herleitung

Die Herleitung der Vektorlänge ist relativ einfach. Wie man dem gezeichneten Vektor ansehen kann, sieht man dort ein rechtwinkliges Dreieck. Daher kann man auch den Satz des Pythagoras nutzen. Die beiden grünen Linien sind dabei die Katheten und die Länge des blauen Vektors die Hypotenuse. Daher nehmen wir die Formel hinter dem Satz des Pythagoras:

Betrag eines Vektors Herleitung mit Satz des Pythagoras




Länge eines 3D-Vektors

Ein Vektor kann nicht nur in der Ebene, sondern auch im Raum vorkommen. Die nächste Grafik zeigt einen beliebigen 3D-Vektor in einem x-y-z-Koordinatensystem.

Betrag Länge 3D Vektor

Formel Länge Vektor im Raum (3D):

Hat man einen dreidimensionalen Vektor mit x, y und z berechnet sich der Betrag (Länge) des Vektors nach der folgenden Formel.

Betrag eines Vektors 3D Formel / Gleichung

Beispiel 2: Betrag Vektor im Raum berechnen

Sehen wir uns noch ein Beispiel mit Zahlen an. Wie lange ist ein Vektor mit x = 1, y = 2 und z = 3?

Lösung:

Wir schreiben den Vektor auf und setzen die Zahlen in die Formel für die Betragsberechnung des Vektors ein.

Länge eines Vektors im Raum Beispiel 2 Lösung


Aufgaben / Übungen Vektoren Länge

Aufgabe 1: In diesem Bereich könnt ihr den Betrag von Vektoren üben. Leider ist es oft so, dass viele Schüler und auch Studenten bereits an Begriffen zur Vektorrechnung scheitern. Daher bieten wir hier neben Aufgaben mit Zahlen auch noch ein paar Fragen zum Thema an.

  • Was berechnet man mit dem Betrag eines Vektors?
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Video Länge eines Vektors

Beispiele und Erklärungen

Der Betrag - also die Länge - eines Vektors wird im nächsten Video besprochen. Dies sind die Inhalte:

  • Länge eines Vektors
  • Zusammenhang mit Satz des Pythagoras
  • Beispiel Ebene
  • Beispiel Raum

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten: Betrag eines Vektors

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Betrag eines Vektor an.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: In der 11. Klasse wird in den meisten Fällen die Vektorrechnung ausführlich behandelt. Teil davon ist auch die Länge bzw. der Betrag eines Vektors. Diesen benötigen man für spätere Themen der Vektorrechnung bzw. Analytischen Geometrie.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen:

  • Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
  • Betrag / Länge eines Vektors
  • Rechnen mit Vektoren
  • Vektoren addieren
  • Vektoren subtrahieren
  • Mittelpunkt einer Strecke
  • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Spatprodukt
  • Abstand Punkt zu Gerade
  • Abstand paralleler Geraden

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