Krümmungsverhalten / Krümmung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Dienstag, 23. Juli 2019 um 16:45 Uhr

Mit der Krümmung bzw. dem Krümmungsverhalten von Funktionen befassen wir uns hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was man unter der Krümmung von Funktionen versteht.
  • Beispiele für die Berechnung des Krümmungsverhaltens.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu Wendepunkten.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Um das Krümmungsverhalten zu verstehen, ist es hilfreich, wenn ihr bereits Ableitungsregeln und Wendepunkte kennt.


Krümmung Erklärung

Beginnen wir ganz kurz mit einer Definition zum Krümmungsverhalten:

Hinweis:

Beim Krümmungsverhalten in der Mathematik untersucht man, ob eine Funktion linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist. In manchmal Fällen kann eine Funktion beide Krümmungen aufweisen. Die Untersuchung kann über die zweite Ableitung durchgeführt werden.

Merke:

  • Die erste Ableitung einer Funktion gibt ihr Steigungsverhalten an.
  • Die zweite Ableitung einer Funktion gibt ihr Krümmungsverhalten an.

Stellt euch vor, dass ihr mit einem Auto oder einem Fahrrad eine Kurve lang fahrt. Je nachdem, ob ihr das Lenkrad nach rechts einschlagen müsst oder nach links bezeichnet man diese Kurve oder Funktion als linksgekrümmt (konvex) oder rechtsgekrümmt (konkav).

Rechtskrümmung:

Bei der Rechtskrümmung ist die zweite Ableitung an der Stelle x kleiner Null: f''(x) < 0. Die Rechtskrümmung wird auch als konkav bezeichnet. Die nächste Grafik zeigt zwei rechtsgekrümmte Verläufe.

Krümmungsverhalten rechtskrümmung

Linkskrümmung:

Bei der Linkskrümmung ist die zweite Ableitung an der Stelle x größer als Null: f''(x) > 0. Die Linkskrümmung wird auch als konvex bezeichnet. Die nächste Grafik zeigt zwei linksgekrümmte Verläufe.

Krümmungsverhalten linkskrümmung




Beispiel Krümmung

Sehen wir uns Beispiele zur Berechnung des Krümmungsverhaltens an.

Beispiel 1: Krümmung ermitteln

Ist die folgende Funktion konvex oder konkav?

Krümmungsverhalten Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Wir leiten die Funktion zwei Mal ab. Die zweite Ableitung hat dabei kein x, also bleibt nur eine Zahl übrig. Da 2 größer als 0 ist haben wir eine konvexe Funktion, sprich die Funktion ist linksgekrümmt.

Krümmungsverhalten Beispiel 1 Lösung

Beispiel 2: Krümmungsverhalten berechnen

Ermittelte das Krümmungsverhalten der folgenden Funktion.

Krümmungsverhalten Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Mit der Potenzregel bilden wir die ersten drei Ableitungen.

Krümmungsverhalten Beispiel 2 Lösung Ableitungen

Wie man sehen kann kommt in der zweiten Ableitung ein x vor. Dies bedeutet, dass die Funktion verschiedene Krümmungsverhalten aufweisen kann. Daher suchen wir nach einem Wendepunkt in der Funktion. Hinweis: Der Wendepunkt ist der Punkt einer Funktion an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.

Wer noch nichts über den Wendepunkt weiß sieht bitte in Wendepunkt / Wendestelle berechnen rein. Um diesen zu ermitteln setzen wie die zweite Ableitung gleich Null und erhalten einen möglichen Wendepunkt bei x = 1.

Krümmungsverhalten Beispiel 2 Lösung Teil 2

Um zu prüfen das wir wirklich einen Wendepunkt haben benötigen wir noch die dritte Ableitung. Diese ist an der Stelle x = 1 ungleich 0. Daher liegt bei x = 1 wirklich eine Wendestelle / Wendepunkt vor.

Krümmungsverhalten Beispiel 2 Lösung Wendepunkt

Um das Krümmungsverhalten der Funktion zu ermitteln sehen wir uns die Krümmung vor und nach dem Wendepunkt an. Da der Wendepunkt bei x = 1 liegt können wir zum Beispiel x = 0,5 nehmen um die Krümmung davor zu ermitteln und x = 1,5 um die Krümmung nach dem Wendepunkt zu ermitteln. Sowohl x = 0,5 als auch x = 1,5 setzen wir in die zweite Ableitung ein. Ist dies kleiner 0 haben wir eine Rechtskrümmung (konkav). Bei größer 0 liegt eine Linkskrümmung (konvex) vor.

Krümmung Beispiel 2 Linkskrümmung und Rechtskrümmung

Betrachtet man die Funktion von links nach rechts geht die Funktion von einer Rechtskrümmung (konkav) in eine Linkskrümmung (konvex) über.


Aufgaben / Übungen Krümmung

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen zunächst ein paar Fragen.

  • Welche Bedingung muss für eine Linkskrümmung erfüllt sein?

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Video Wendepunkt

Beispiel und Erklärung

Dies sehen wir uns im nächsten Video an:

  • Was ist ein Wendepunkt oder eine Wendestelle?
  • Wie sieht diese Wendestelle grafisch aus?
  • Eine Beschreibung wie man den Wendepunkt findet.
  • Eine Aufgabe wird vorgerechnet.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Krümmungsverhalten

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Krümmungsverhalten an.

F: Wie geht man vor wenn man das Krümmungsverhalten bestimmen möchte?

A: Um die Krümmung einer Funktion zu bestimmen geht man so vor:

  • Die ersten drei Ableitungen bilden.
  • Besteht die zweite Ableitung nur aus einer Zahl und kein x gilt:
    • f''(x) < 0 bedeutet Rechtskrümmung.
    • f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung.
  • Beinhaltet die zweite Ableitung noch die Variable (x) gilt:
    • Nach Wendepunkt suchen, dazu
      • die zweite Ableitung 0 setzen und x-Stelle berechnen.
      • diese x-Stelle in die dritte Ableitung einsetzen, muss ungleich 0 sein.
    • Ein x-Punkt vor und nach dieser x-Stelle nehmen und
    • in die zweite Ableitung einsetzen. Dann gilt:
      • f''(x) < 0 bedeutet Rechtskrümmung
      • f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
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