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Wendepunkt / Wendestelle berechnen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Freitag, 28. Juni 2019 um 14:30 Uhr

Was Wendestelle und Wendepunkt sind und wie man sie berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was Wendepunkte und Wendestellen sind.
  • Beispiele wie man diese Punkte berechnet.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu Wendepunkten.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Für die Berechnung von Wendepunkten ist es hilfreich, wenn ihr bereits Ableitungsregeln kennt und auch wisst was ein Extrempunkt ist.

Wendepunkt / Wendestelle Erklärung

Stellt euch vor ihr fahrt mit dem Fahrrad oder mit dem Auto durch eine Strecke mit vielen Kurven. Dabei bewegt ihr das Lenkrad hin und her, also von links nach rechts und wieder zurück. Der Wendepunkt ist die Stelle an dem das Lenkrad gerade steht (also da wo der Übergang von links nach rechts oder umgekehrt ist).

Dieser Punkt oder diese Stelle gibt es auch in der Mathematik. Definition Wendepunkt / Wendestelle:

Hinweis:

Der Wendepunkt ist die Stelle an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Es handelt sich dabei um den Punkt stärkster Zunahme oder stärkster Abnahme. Der Funktionsgraph wechselt hier von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Der Wendepunkt wird mit x und y angegeben, zum Beispiel WP(3|8), die Wendestelle ist nur die x-Angabe davon, in diesem Fall x = 3.

Die nächste Grafik zeigt einen Wendepunkt:

Wendepunkt / Wendestelle Koordinatensystem

Den Wendepunkt findet man mit diesen Bedingungen:

Wendepunkt / Wendestelle Bedingungen

Beispiel Wendepunkt / Wendestelle berechnen

In diesem Abschnitt soll ein Beispiel zu Wendestelle und Wendepunkt ausführlich besprochen und vorgerechnet werden. Da Schüler und Schülerinnen an unterschiedlichen Stellen scheitern geschieht dies Stück für Stück geschehen.

Beispiel 1: Wendepunkt / Wendestelle bestimmen

Wir haben die folgende Funktion:

Wendepunkt / Wendestelle Beispiel 1 Aufgabe

1a) Wo liegt die Wendestelle dieser Funktion?

1b) Wo liegt der Wendepunkt dieser Funktion?

1c) Wie groß ist die Steigung im Wendepunkt?

Lösung:

Wir benötigen zunächst die ersten drei Ableitungen der Funktion. Diese erhalten wir mit der Potenzregel.

Wendepunkt Beispiel 1 Lösung drei Ableitungen

Um nun eine Wendestelle zu finden, setzen wir die zweite Ableitung gleich Null und berechnen x. Dabei nennen wir dieses x im Anschluss x0, da dies unser Kandidat für eine Wendestelle ist.

Wendepunkt zweite Ableitung gleich Null

In die dritte Ableitung müssen wir theoretisch x = 1 einsetzen (wie eben berechnet). Da es jedoch kein x gibt haben wir einfach 6 in der dritten Ableitung und dies ist ungleich Null. Daher liegt bei x0 = 1 ein Wendepunkt bzw. eine Wendestelle vor.

Wendestelle, dritte Ableitung ungleich Null

Wir wissen damit, dass bei x = 1 wirklich eine Wendestelle vorliegt. Um den Wendepunkt an dieser Stelle vollständig angeben zu können müssen wir noch f(x) berechnen.

Wendepunkt Beispiel 1 Lösung y berechnen

Wir wissen, dass die Wendestelle x = 1 ist und der Wendepunkt mit x = 1 und y = -2 angegeben werden kann: Fehlt uns noch die Steigung in genau diesem Punkt. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an. Wir suchen die Steigung an der Stelle x = 1 ein. Daher setzen wir in die erste Ableitung x = 1 ein und erhalten eine Steigung von -3.

Steigung im Wendepunkt

Aufgaben / Übungen Wendepunkte

Aufgabe 1:

Wo liegt bei der nächsten Funktion der Wendepunkt?

Aufgabe 1 Wendepunkt

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Video Wendepunkt

Beispiel und Erklärung

Diese Themen sehen wir uns im nächsten Video an:

  • Was ist ein Wendepunkt bzw. eine Wendestelle?
  • Wie sieht diese grafisch aus?
  • Eine Anleitung wie man den Wendepunkt findet.
  • Ein Beispiel wird vorgerechnet.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zum Wendepunkt

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Wendepunkt und ähnlichen Themen an.


F: Was ist der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einem Sattelpunkt?

A: Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt. Der Sattelpunk ist ein Wendepunkt mit einer waagrechten Tangente, sprich die Steigung im Wendepunkt / Sattelpunkt ist Null. Daher muss die erste Ableitung einer Funktion zusätzlich zum Wendepunkt noch Null sein um ein Sattelpunkt zu sein. Mehr dazu bei uns unter Sattelpunkt berechnen.

F: Was versteht man unter einer Wendetangente?

A: Eine Tangente im Wendepunkt einer Funktion wird als Wendetangente bezeichnet. Mehr dazu sowie Beispiele findet ihr unter Wendetangente berechnen.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

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