Spatprodukt berechnen mit Formel

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Freitag, 24. April 2020 um 20:54 Uhr

Wie man das Spatprodukt berechnet und wozu man dies braucht, lernt ihr hier. Dies sind die Themen:

  • Eine Erklärung, was das Spatprodukt ist.
  • Beispiele wie man das Spatprodukt von 3 Vektoren berechnet.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zum Spatprodukt.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es tauchen bei der Berechnung vom Spatprodukt die Begriffe Vektorprodukt (Kreuzprodukt), Skalarprodukt und Determinante auf. Diese Themen werden hier noch einmal in Kürze wiederholt. Falls euch dies nicht reicht solltet ihr jedoch noch einmal die genannten Themen nachlesen.


Spatprodukt Eigenschaften und Berechnung

Wozu braucht man das Spatprodukt?

Hinweis:

Mit drei Vektoren ist es möglich ein Volumen aufzuspannen. Mit dem Spatprodukt kann dieses Volumen berechnet werden. Die Berechnung des Volumens kann entweder mit der Determinante oder mit einer Mischung aus Vektorprodukt (Kreuzprodukt) und Skalarprodukt berechnet werden. Daher wird das Spatprodukt auch als gemischtes Produkt bezeichnet.

Die nächste Grafik zeigt wie drei Vektoren ein Volumen aufspannen können.

Spatprodukt und Volumen

Dieses Volumen kann man auf verschiedene Art und Weise berechnet werden. Wir starten mit dem Kreuzprodukt und Skalarprodukt und rechnen weiter unten genau dieses Beispiel noch einmal mit einer Determinante aus.

Beispiel 1: Spatprodukt mit Kreuzprodukt und Skalarprodukt

Wir haben die drei folgenden Vektoren. Berechne das Volumen.

Spatprodukt Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Die allgemeine Formel für das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ist diese:

Kreuzprodukt / Vektorprodukt Formel

Daher nehmen wir uns zwei der Vektoren und setzen einfach die entsprechenden Zahlen in die Formel ein:

Spatprodukt Beispiel 1 Vektorprodukt

Mit 2, -1 und -1 erhalten wir einen neuen Vektor. Wir nehmen den dritten Ausgangsvektor mit hinzu und setzen einen dicken Malpunkt (für das Skalarprodukt) dazwischen. Dieses berechnen wird nun Zeile für Zeile.

Spatprodukt Beispiel 1 Skalarprodukt

Als Ergebnis erhalten wir 14. Da keine Einheiten wie Zentimeter, Meter etc. gegeben waren schreiben wir stattdessen Volumeneinheiten, kurz VE dahinter. Die drei Vektoren spannen damit ein Volumen von 14 VE auf.




Spatprodukt mit Determinante

Es gibt eine weitere Möglichkeit das Volumen zu berechnen. Wir nehmen dazu erneut unsere drei Vektoren:

Spatprodukt Beispiel 1 Aufgabe

Diese drei Vektoren schreiben wir jetzt in eine Determinante:

Spatprodukt mit Determinante Beispiel 2

Die allgemeine Berechnung der Determinante erfolgt nach diesem Zusammenhang.

Spatprodukt Beispiel 2 Determinante allgemein

Setzen wir die Zahlen ein erhalten wir das Volumen wie folgt:

Spatprodukt Beispiel 2 Determinante Lösung Volumen

Auch bei der Berechnung über die Determinante erhalten wir das Volumen zu 14, besser gesagt 14 Volumeneinheiten (VE).


Aufgaben / Übungen Spatprodukt

Aufgabe 1:

In diesem Bereich erhaltet ihr die Möglichkeit das Spatprodukt zu üben. Da einige Schüler und Studenten jedoch bereits an einfachen Fragen scheitern, gibt es bei uns auch Fragen zum Thema.

  • Was berechnet man mit dem Spatprodukt?
Aufgabe überspringen »


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Video Spatprodukt

Erklärung und Beispiele

Das nächste Video behandelt das Spatprodukt:

  • Wofür man das Spatprodukt braucht.
  • Wie man eine Determinante berechnet.
  • Allgemeine Berechnung der Determinante.
  • Beispiel für die Berechnung vom Spatprodukt.

Ich empfehle die Aufgabe noch einmal auf Papier nachzurechnen.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zum Spatprodukt

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Spatprodukt an.

F: Ich verstehe das Spatprodukt nicht. Wie kann ich es lernen?

A: Oftmals mangelt es an wichtigen Vorkenntnissen. Befasst euch daher erst ausführlich mit diesen Themen:

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Das Spatprodukt wird in der Vektorrechnung bzw. analytischen Geometrie in der Oberstufe behandelt, meistens ab der 11. Klasse.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und werden sie nach der Veröffentlichung hier verlinken:

  • Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
  • Betrag / Länge eines Vektors
  • Rechnen mit Vektoren
  • Vektoren addieren
  • Vektoren subtrahieren
  • Mittelpunkt einer Strecke
  • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Spatprodukt
  • Abstand Punkt zu Gerade
  • Abstand paralleler Geraden

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