Abstand: Ebene zu Punkt

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 26. August 2020 um 15:16 Uhr

Wie man den Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt berechnet, sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

  • Eine Erklärung wie man den Abstand zwischen Ebenen (verschiedene Formen) zu einem Punkt berechnet.
  • Beispiele mit Koordinatenebene und Normalenform.
  • Aufgaben / Übungen zum selbst Rechnen.
  • Ein Video zum Thema.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Für das zweite Beispiel brauchen wir noch das Skalarprodukt für die Berechnung. Wer dieses noch nicht kennt kann gerne in den entsprechenden Artikel mit Video noch einmal reinsehen.


Abstand: Punkt zu Ebene bei Koordinatenform

Wichtig: Wir sehen uns gleich an wie man den Abstand zwischen Punkt und Ebene berechnet. Wir tun dies mit einer Ebene in Koordinatenform und im zweiten Beispiel mit einer Ebene in Normalenform. Liegen Ebenen nicht in diesen Formen vor, könnt ihr diese natürlich auf diese Formen umwandeln um dann den Abstand zu berechnen.

Beispiel 1:

Gegeben sei eine Ebene in Koordinatenform und ein Punkt. Wie groß ist der Abstand zwischen Ebene und Punkt?

Abstand Punkt zu Ebene Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Wir nehmen die nächste Gleichung und setzen in diese die Koeffizienten ein. Das heißt wir multiplizieren die Zahlen vor x, y und z mit dem x-Wert, y-Wert bzw. z-Wert vom Punkt. Im Nenner haben wir eine Wurzel bei der wir die Koeffizienten der Ebene jeweils quadrieren und addieren. Im Anschluss rechnen wir alles aus und erhalten einen Abstand von etwa 0,82.

Abstand Punkt zu Ebene Beispiel 1 Lösung




Abstand: Punkt zu Ebene bei Normalenform

Sehen wir uns noch ein Beispiel zum Abstand von Punkt zu Ebene an.

Beispiel 2: Abstand bei Normalform

Wir haben eine Ebene in Normalform und ein Punkt gegeben. Wie groß ist die Distanz zwischen Punkt und Ebene?

Abstand Punkt zu Ebene Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Für diesen Fall nehmen wir die folgende Gleichung.

Abstand Punkt zu Ebene Formel

Was setzen wir hier ein? Wir haben vorne den Punkt und ziehen davon die erste Klammer von der Ebene ab. Danach der Punkt für das Skalarprodukt gefolgt vom Normalenvektor. In den Nenner kommt die Länge des Normalenvektors.

Abstand Punkt zu Ebene Beispiel 2 Lösung

Den Zähler vereinfachen wir ein wenig.

Abstand Punkt zu Ebene Beispiel 2 Lösung

Wir rechnen im Anschluss das Skalarprodukt im Zähler aus und vereinfachen den Nenner ein wenig.

Abstand Punkt zu Ebene Beispiel 2 Lösung d berechnen

Wir berechnen einen Abstand von 5.


Aufgaben / Übungen Abstand Punkt zu Ebene

Aufgabe 1:

  • Wie groß ist der Abstand zwischen Punkt und Ebene?

Aufgabe Punkt zu Ebene Beispiel 1 Aufgabe

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Video Abstand Punkt zu Ebene

Beispiele und Erklärungen

Im nächsten Video befassen wir uns mit dem Abstand von Punkt zu Ebene:

  • Erklärung zur Abstandsberechnung
  • Beispiel Koordinatenform zu Punkten.

Tipp: Macht die Beispiele selbst auch noch einmal.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten: Punkt und Ebene Abstand

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Abstand zwischen Punkt und Ebene an.



F: Ich verstehe das Thema nicht. Wie kann ich es lernen?
A: Wenn ihr das Thema nicht versteht, solltet ihr erst einmal einen Blick auf diese Themen der Vektorrechnung werfen:


F: Wann wird dieses Thema behandelt?
A: Der Abstand zwischen Punkt und Ebene wird in der Oberstufe behandelt, meistens ab der 11. Klasse.



F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?
A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und werden sie nach der Veröffentlichung hier verlinken:

  • Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
  • Betrag / Länge eines Vektors
  • Rechnen mit Vektoren
  • Vektoren addieren
  • Vektoren subtrahieren
  • Mittelpunkt einer Strecke
  • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Spatprodukt
  • Abstand Punkt zu Gerade
  • Abstand paralleler Geraden

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