Ebene: Normalenform in Parameterform

Die Umwandlung einer Ebene von der Normalenform in die Parameterform sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

• Eine Erklärung, wie man Ebenen umwandelt.
• Beispiele für die Umwandlung von Normalenform in eine Parametergleichung.
• Aufgaben / Übungen zum Umwandeln von Ebenen.
• Ein Video zur Ebenenumwandlung.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Um diese Ebenenumwandlung durchzuführen, braucht ihr das Skalarprodukt. Wir werden dieses hier gleich noch vorstellen. Wem dies nicht reicht wirft jedoch noch einen Blick auf Skalarprodukt berechnen.

Normalenform in Parameterform Teil 1

So geht man vor um eine Ebene von der Normalenform in die Parameterform umzuformen:

• Schritt 1: Normalenform in Koordinatenform umwandeln.
• Schritt 2: Koordinatenform in Parameterform umwandeln.

Schritt 1: Normalenform in Koordinatenform

Wandle diese Gleichung in die Parameterform um.

Lösung:

Im ersten Schritt stellen wir zunächst die Gleichung auf wie in der folgenden Grafik zu sehen. Diese stellen wir im Anschluss um:

Auf beiden Seiten der Gleichung müssen wir jetzt das Skalarprodukt berechnen. Dazu multiplizieren wir Zeile für Zeile und setzen ein Plus jeweils dazwischen. Wer dazu noch mehr sehen möchte wirft einen Blick in Skalarprodukt berechnen. Die Gleichung vereinfachen wir noch und stellen diese nach -21 um.

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Normalenform in Parameterform Teil 2

Die Gleichung liegt jetzt in Koordinatenform vor und wird weiter umgewandelt in eine Parameterform.

Schritt 2: Koordinatenform in Parameterform

Wir nehmen die Koordinatenform aus der letzten Rechnung und stellen die Gleichung nach x₃ um. Im Anschluss setzen wir x₁ = r und x₂ = s. Dieses ersetzen machen wir auch in unserer Gleichung die nach x₃ aufgelöst wurde.

Die Gleichungen mit x₁ = r und x₂ = s schreiben wir ausführlicher hin mit Zahl, r und s. Wir ergänzen im Prinzip 0er-Angaben. In dieser Form können wir direkt die Ebenengleichung in Parameterform ablesen und aufschreiben.

Aufgaben / Übungen Ebenen umwandeln

Aufgabe 1:

In diesem Bereich erhaltet ihr die Möglichkeit die Ebenengleichungen umzuwandeln.

• Wandele mit einem linearen Gleichungssystem die folgende Parametergleichung in eine Koordinatengleichung um. Wie lautet die Lösung?

• 3x + 1,5y + 3z = 10,5
• 2x + 3y - z = 10,5
• 5x + 1,5y - z = 8
• 5x + 1,5y - z = 10,5

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Video Ebene umwandeln

Fragen mit Antworten Normalenform in Parameterform