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Gleichungen mit Klammern

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 25. Februar 2018 um 17:52 Uhr

Wie man Gleichungen mit Klammern löst, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wie man mit Klammern in Gleichungen umgeht.
  • Beispiele zu verschiedenen Gleichungen mit Klammern.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Ein Video zum Rechnen mit Klammern.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wie sehen uns gleich an wie man Gleichungen mit Klammern löst. Falls ihr merkt, dass ihr die Inhalte die jetzt kommen nicht versteht, dann mangelt es vielleicht an Vorwissen. In diesem Fall solltet ihr nachsehen, ob ihr ganz einfache Gleichungen ohne Klammern lösen könnt. Wenn nicht seht bitte in Gleichungen auflösen rein, dort werden die Grundlagen behandelt. Auch nicht schlecht ist, wenn ihr wisst was eine Variable ist oder wie man eine einfache Klammerrechnung durchführt.

Erklärung Gleichung mit Klammer

Schüler lernen sehr gerne mit Beispielen während Lehrer gerne die Regeln der Mathematik auch bei Gleichungen hervorheben. Um beidem gerecht zu werden, sehen wir uns ganz kurz die Regeln bei Gleichungen mit Klammern an, kommen dann aber umgehend zu Beispielen.

Hinweis:

Regeln:

  • Steht nur ein Pluszeichen (+) vor der Klammer, kann die Klammer einfach weggelassen werden.
  • Steht nur ein Minuszeichen (-) vor der Klammer, drehen sich die Vorzeichen beim Weglassen der Klammer um.
  • Steht vor der Klammer ein Faktor, dann wird beim Auflösen der Klammer jeder Summand innerhalb der Klammer mit diesem Faktor multipliziert.
  • Beim Ausmultiplizieren von zwei Klammern müssen alle Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden.

Fangen wir mit einfachen Beispielen an und steigern uns beim Schwierigkeitsgrad.

Gleichung Beispiel 1: Klammer mit plus davor

Im ersten Beispiel haben wir eine Klammer mit nur einem Pluszeichen davor (Plusklammer). Hier können wir einfach die Klammer weglassen. Im zweiten Rechenschritt berechnen wir 6 + 8 = 14. Von der 14 ziehen wir im nächsten Schritt noch 2 ab und kommen auf 12. Wir haben jetzt 12 = x - 2 zu berechnen. Um die -2 auf der rechten Seite wegzubekommen, müssen wir +2 rechnen. Und dies auf beiden Seiten der Gleichung. Daher erhalten wir x = 14 als Lösung.

Gleichung mit Klammer Beispiel 1

Setzt man in die Ausgangsgleichung x = 14 ein, dann erhalten wir 12 = 12. Damit stimmt auch die Probe und x = 14 ist richtig.

Gleichung Beispiel 2: Klammer mit minus davor

Im zweiten Beispiel haben wir eine Minusklammer. Seht euch kurz die Berechnung an, unterhalb wird diese dann noch Schritt für Schritt mit Worten erklärt.

Gleichung mit Klammer Beispiel 2

Dies bedeutet, dass wir die Klammer entfernen können, indem wir die Vorzeichen der Klammerinhalte umdrehen. Aus +8 wird -8 und aus -a wird + a. Wir fassen danach die linke Seite zusammen. Wegen Punkt vor Strich zunächst 9 · 3 = 27 und davon subtrahieren wir im Anschluss die 8.

Als nächstes subtrahieren wird die 14 um diese von der rechten Seite zu entfernen. Dies tun wir auch links und erhalten 19 - 14 = 5. Wir erreichen nun die Zeile 5 + a = 2a. Um jetzt die Variable a auf eine Seite zu bekommen, müssen wir das a auf der linken Seite wegbekommen. Um +a wegzubekommen müssen wir -a rechnen. Auf der linken Seite bleibt 5 übrig und auf der rechten Seite 2a - a = a. Wir erhalten a = 5.

Beispiele Gleichungen mit Klammern

In diesem Abschnitt sehen wir uns anspruchsvollere Beispiele zu Gleichungen mit Klammern an.

Gleichung Beispiel 3: Klammer mit Faktor davor

Kommen wir zu Gleichungen mit zwei Klammern und einem Faktor davor. Seht euch zunächst die Berechnung kurz an, unterhalb wird diese erklärt zum Nachvollziehen.

Gleichungen mit Klammern Beispiel 3

Die Klammer auf der linken Seiten beseitigen wir, indem wir die -5 erst mit 7 multiplizieren und danach die -5 mit x multiplizieren. Wir erhalten -35 - 5x auf der linken Seite. Die Klammer auf der rechten Seite hat nur ein Minus vor der Klammer, daher drehen sich einfach die Vorzeichen in der Klammer beim Beseitigen um. Aus x wird -x und aus -5 wird +5.

Wir fassen die rechte Seite zusammen mit 5 - 42 = -37. Wir addieren 35 um die -35 auf der linken Seite zu beseitigen. Um die -x auf der rechten Seite wegzubekommen, rechnen wir +x und erhalten damit die Gleichung -4x = - 2. Wir drehen die Minus-Vorzeichen auf beiden Seiten um indem wir beide Seiten mit -1 multiplizieren. Um nach x aufzulösen stört noch die 4 vor dem x. Um diese Multiplikation mit 4 zu beseitigen dividieren wir durch 4 und erhalten x = 0,5.

Gleichung Beispiel 4: Klammer mal Klammer

Im nächsten Beispiel sehen wir uns Klammer mal Klammer an und wollen dies im Sinne einer Gleichung vereinfachen. In der ersten Zeile wird dies mit einer Potenz dargestellt, in der zweiten Zeile wird diese mit Klammer mal Klammer ausgeschrieben. Seht euch kurz die Berechnung an, unterhalb der Berechnung wird dies mit Text erklärt.

Gleichung mit Klammer Beispiel 4

  • Die Potenz der Klammer schreiben wir zunächst aus. Wir erhalten damit Klammer mal Klammer zur Berechnung.
  • Die Klammern werden aufgelöst, indem man alle Terme der ersten Klammer mit allen Termen der zweiten Klammer multipliziert:
    • 3a · 3a = 9a2
    • 3a · (-4b) = -12ab
    • (-4b) · (3a) = -12ab
    • (-4b) · (-4b) = 16b2
  • Danach können wir noch -12ab -12ab = -24ab kurz zusammenfassen.

Gleichung Beispiel 5: Viele Variablen und Bruch

Die nächste Gleichung mit Klammern beinhaltet mehrere Variablen und soll nach a aufgelöst werden. Seht zunächst die Rechnung an und diese wird im Anschluss wie immer erklärt.

Gleichung mit Klammern, Bruch und Variable Beispiel 5

Wir fangen auf der rechten Seite an und schreiben die Potenz aus. Die beiden Brüche werden multipliziert: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Um weiter in Richtung a aufzulösen addieren wir +15 auf beiden Seiten wodurch die -15 links verschwindet. Bleibt noch a : 3 links übrig. Wir multiplizieren mit 3 um diesen Bruch zu beseitigen. Dadurch müssen wir auch beide Terme rechts mit 3 multiplizieren.

Aufgaben / Übungen mit Lösungen

Aufgabe 1: Gegeben sei die folgende Aufgabe. Wie groß ist x?

6 + (8 - 2) = x - 2

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Video Klammerrechnung

Beispiele und Erklärungen

Im nächsten Video wird der Umgang mit Klammern ausführlich behandelt. Es geht dabei nicht nur darum die einfache Klammerrechnung zu lernen, sondern auch darum, wie man Klammern ausmultiplizieren kann bzw. wie man Klammern wieder erzeugen kann.


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Fragen mit Antworten zu Gleichungen mit Klammern

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch typische Fragen zu Gleichungen mit Klammern an.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Das Rechnen mit Gleichungen wird in der 5. Klasse oder spätestens in der 6. Klasse angefangen. Dabei geht es zunächst darum mit den Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eine einfache Gleichung nach einer Unbekannten aufzulösen. Danach werden die Gleichungen schwieriger und es kommen Klammern, Potenzen, Wurzel etc. dazu. Aus diesem Grund steht das Gleichungen lösen gerade in der 7. Klasse und 8. Klasse noch einmal ganz stark auf dem Plan.

F: Welche Themen sollte ich mir noch ansehen?

A: Zunächst einmal könnt ihr noch in das Thema Klammer mal Klammer reinsehen oder auch Klammerrechnung. Eine etwas andere Anwendung der Klammerrechnung und Potenzen findet ihr mit den Binomischen Formeln.

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