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Quadratische Ergänzung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Freitag, 01. März 2019 um 18:41 Uhr

Wie man die quadratische Ergänzung verwendet und wofür man sie braucht, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Definition / Erklärung was die quadratische Ergänzung ist.
  • Beispiele um Nullstellen und Scheitelpunkt zu bestimmen.
  • Übungen damit ihr die quadratische Ergänzung selbst üben könnt.
  • Ein Video zur quadratischen Ergänzung.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Die quadratische Ergänzung ist kein ganz einfaches Thema. Daher macht euch selbst das Leben etwas einfacher. Wenn ihr die folgenden Themen noch nicht kennt, seht bitte erst einmal in diese rein: PQ-Formel und Binomische Formeln. Dies kennt ihr schon? Dann ran an die quadratische Ergänzung.

Quadratische Ergänzung Erklärung

Was ist die quadratische Ergänzung und wozu braucht man diese?

Hinweis:

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren in der Mathematik um quadratische Funktionen auf die Form von Binomischen Formeln zu bringen. Mit diesem Verfahren können Nullstellen und der Scheitelpunkt berechnet werden.

Beginnen wir mit einem ausführlichen Beispiel dazu wie man die quadratische Ergänzung anwendet und die Nullstellen berechnet.

Beispiel 1: Quadratische Ergänzung Nullstellen

Wir haben eine quadratische Gleichung mit 3x2 + 9x + 6 = 0. Führe eine quadratische Ergänzung durch und berechne die Nullstellen.

Lösung:

Wir bringen zunächst die quadratische Gleichung auf die Normalform. Dies bedeutet, dass vor x2 eine 1 stehen muss. Daher teilen wir durch 3. Die einzelne Zahl (in diesem Fall 6 bzw. dann 2) muss auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden.

Quadratische Ergänzung Beispiel 1 Normalform

Erinnert ihr euch noch an die 1. Binomische Formel mit a2 + 2ab + b2 = (a + b)2? Auf die linke Seite der 1. Binomischen Formel versuchen wir nun die linke Seite der Gleichung zu bringen.

Quadratische Ergänzung Beispiel 1 Binomische Formeln

Was können wir daraus ablesen? In rot eingerahmt a2 = x2, in blau eingerahmt 2ab = 3x und b2 kennen wir noch nicht. Da a2 = x2 ist können wir daraus a = x annehmen und dies in 2ab = 3x einsetzen. Dadurch können wir b ausrechnen.

Quadratische Ergänzung Beispiel 1 Einsetzen

Wir setzen b2 = 2,25 in die Gleichung ein. Es handelt sich dabei um eine Gleichung. Fügen wir 2,25 auf der linken Seite der Gleichung ein, müssen wir dies auch auf der rechten Seite machen. Die rechte Seite vereinfachen wir im Anschluss. Wir haben damit quadratisch ergänzt.

Quadratische Ergänzung Beispiel 1 Gleichung

Ihr erinnert euch an (a + b)2 = a2 + 2ab + b2? Und wir wissen von weiter oben das a = x und b = 1,5 ist. Damit formen wir die linke Seite der Gleichung um.

Quadratische Ergänzung Beispiel 1 quadratisch

Um nach der quadratischen Ergänzung die Nullstellen zu berechnen, müssen wir noch die Wurzel ziehen. Wichtig: Es handelt sich dabei um die Plusminus-Wurzel wodurch wir zwei Nullstellen erhalten:

Quadratische Ergänzung Beispiel 1 Nullstellen

Hinweis: Die Nullstellen kann man auch mit der PQ-Formel oder ABC-Formel berechnen. Wie dies mit der PQ-Formel geht sehen wir im Frage- und Antwortbereich am Ende dieses Artikels.

Quadratische Ergänzung: Beispiel Scheitelpunkt

Die quadratische Ergänzung kann auch zum Berechnen von einem Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion verwendet werden. Wie dies geht sehen wir in einem weiteren Beispiel an.

Beispiel 2: Quadratische Ergänzung

Wir haben die folgende Funktion. Führe eine quadratische Ergänzung durch und bestimme damit den Scheitelpunkt.

Quadratische Ergänzung Beispiel 2 Aufgabe Scheitelpunkt

Lösung:

Wir führen zunächst einen Vergleich mit der 1. Binomischen Formel durch:

Quadratische Ergänzung Beispiel 2 Scheitelpunkt Vergleich

Wir kennen damit b = 1 und können dies in der Ausgangsfunktion ergänzen, in diesem Fall b2 = 1. Da wir die Funktion nicht verändern dürfen, müssen wir dies mit 1 wieder ausgleichen. Mit der Binomischen Formel a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 können wir die Funktion umformen.

Quadratische Ergänzung Beispiel 2 binomisch

Mit der letzten Gleichung haben wir direkt eine Scheitelpunktform und können direkt den Scheitelpunkt ablesen.

Quadratische Ergänzung Beispiel 2 Scheitelpunkt

Aufgaben / Übungen quadratische Ergänzung

Aufgabe 1:

Wie lautet die nächste Gleichung nach der quadratischen Ergänzung?

3x2 + 9x + 6 = 0

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Du hast 0 von 4 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video quadratische Ergänzung

Erklärung und Beispiele

Im nächsten Video bekommt ihr dies:

  • Eine Erklärung was man unter der quadratischen Ergänzung versteht.
  • Es wird gezeigt wie man diese durchführt.
  • Drei Beispiele werden vorgerechnet.

Tipp: Rechnet die Aufgaben aus dem Video selbst noch einmal per Hand nach oder macht diese in unserem Aufgabenbereich.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten quadratische Ergänzung

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten rund um die quadratische Ergänzung an.

F: Gibt es Alternativen zum Finden von Nullstellen zur quadratischen Ergänzung?

A: Das Auffinden von Nullstellen bei quadratischen Funktionen bzw. quadratischen Gleichungen wird von Schülern oft noch mit der PQ-Formel oder der ABC-Formel (Mitternachtsformel) durchgeführt. Wer dazu noch mehr lesen möchte kann dies hier gleich tun.

In Beispiel 1 weiter oben wurde die folgende Gleichung mit der quadratischen Ergänzung gelöst. Es folgt noch einmal die Berechnung der Nullstellen mit der PQ-Formel.

Quadratische Ergänzung Beispiel 1 PQ-Formel Nullstelle

F: Was sollte ich rund um die quadratische Ergänzung noch können?

A: Im Zusammenhang mit der quadratischen Ergänzung wird oftmals noch einmal über das Ausklammern bzw. Faktorisieren gesprochen. Wer nicht weiß wie dies geht kann gerne dies wiederholen unter Faktoriseren / Ausklammern.


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