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Ausklammern und Faktorisieren

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 21. April 2018 um 12:59 Uhr

Wie das Ausklammern (Faktorisieren) funktioniert, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung wie man ausklammert bzw. faktorisiert.
  • Beispiele wie man einfache Zahlen, Variablen und Potenzen ausklammert.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Ein Video zum Ausklammern bzw. Faktorisieren.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Das Ausklammern ist die Umkehrung zum Ausmultiplizieren. Wie dies funktioniert lernt ihr unter Klammern ausmultiplizieren.

Erklärung Ausklammern

Klären wir zunächst einmal kurz, was man unter dem Ausklammern bzw. Faktorisieren überhaupt versteht.

Hinweis:

Definition: Ausklammern / Faktorisieren

Das Ausklammern bzw. Faktorisieren dient dazu aus einer Summe oder einer Differenz ein Produkt zu machen.

Im einfachsten Fall sieht man direkt bei jedem Term einer Summe oder Differenz, dass hier gleiche Zahlen bzw. Variablen vorliegen und kann diese vor eine Klammer ziehen.

Beispiel 1: Summe / Differenz faktorisieren

Sehen wir uns zwei einfache Gleichungen an. Die erste ist eine Summe (+) und die zweite eine Differenz (-). Seht erst einmal selbst kurz auf die beiden Gleichungen. Diese werden im Anschluss erklärt.

Ausklammern / Faktorisieren Beispiel 1 mit Summe und Differenz

Sowohl bei 3x als auch bei 3y haben wir eine 3. Aus diesem Grund können wir diese ausklammern. In der Klammer bleibt x + y stehen. Im zweiten Beispiel haben wir 8a und - 8b. In beiden Fällen findet sich eine 8. Aus diesem Grund können wir 8 ausklammern. In der Klammer bleibt a - b übrig. Würden wir die rechte Seite der Gleichungen wieder ausmultiplizieren, erhielten wir wieder die linke Seite der Gleichungen.

Beispiel 2: Variablen ausklammern

Nicht nur Zahlen können ausgeklammert werden, sondern auch Variablen. Die nächsten beiden Gleichungen zeigen wie dies funktioniert. In der ersten Gleichung kommt in beiden Termen ein x vor. Daher ziehen wir dies vor die Klammer mit y + z darin. Multiplizieren wir die rechte Seite aus erhalten wir wieder xy + xz. In der zweiten Gleichung das selbe Spielchen, nur mit a.

Ausklammern / Faktorisieren Beispiel 2

Soweit ein paar einfache Beispiele zum Ausklammern. Jetzt wird es Zeit für anspruchsvollere Aufgaben.

Beispiele Ausklammern

In diesem Abschnitt sehen wir uns Beispiele zum Faktorisieren von Polynomen an sowie der Primfaktorzerlegung.

Beispiel 3: Polynom faktorisieren

In diesem Beispiel soll ein Polynom faktorisiert werden. Im ersten Schritt schreiben wir alle Potenzen aus. Danach suchen wir aus den drei Termen die gemeinsamen Variablen raus. So kommen sowohl x als auch y je zwei Mal vor. Zur besseren Übersicht sind diese farbig markiert. Alles was in jedem Term vorkommt schreiben wir vor die Klammer. Beim ersten Term bleibt xx übrig. Beim zweiten Term bleibt nur x übrig. Den dritten Term finden wir komplett vor der Klammer. Aus diesem Grund schreiben wir noch eine 1 in die Klammer. Grund: Beim Ausmultiplizieren muss wieder y2x2 rauskommen. Und dies erhält man durch die Multiplikation mit 1.

Polynom faktorisieren Beispiel 3

Beispiel 4: Primfaktorzerlegung

Manchmal ist es auch nötig erst eine Primfaktorzerlegung durchzuführen. Das klingt jetzt sehr kompliziert, ist aber eigentlich ganz einfach. Wir gehen dabei zunächst her und verwanden eine Zahl in eine Multiplikation möglichst kleiner Zahlen. Diese können wir auch ausklammern: Die 2 · 2 kommt dabei in beiden Termen vor und kann daher vor die Klammer gezogen werden. Übrig bleibt vorne x2 und 12z2. Bei den Variablen gibt es keine Gemeinsamkeiten zwischen den Termen, daher können wir hier nichts ausklammern.

Ausklammern / Faktorisieren Beispiel 4

Hinweis:

Ausklammern / Faktorisieren bei Binomischen Formeln:

Die Binomischen Formeln ermöglichen es ebenfalls Klammern zu erzeugen - also Auszuklammern bzw. zu Faktorisieren - oder umgekehrt diese auszumultiplizieren. Wie dies funktioniert lernt ihr unter Binomische Formeln.

Ausklammern Aufgaben

Aufgabe 1: Wie lautet diese Aufgabe ausgeklammert?

  • 2x + 2y = _____
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Du hast 0 von 5 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Faktorisieren

Beispiele und Erklärungen

Beim Ausklammern bzw. Faktorisieren geht es darum, gemeinsame Zahlen oder auch Variablen auszuklammern. Dabei ist es sehr wichtig, dass ihr den Umgang mit Klammern lernt. Im nächsten Video wird genau damit gestartet. Danach werden Beispiele mit Erklärungen vorgerechnet, wie man ausklammert.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zum Ausklammern

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch typische Fragen mit Antworten zum Ausklammern bzw. Faktorisieren an.

F: Kann man auch Brüche ausmultiplizieren?

A: Manchmal geht dies (auch sinnvoll). Brüche sind nichts anderes als Zahlen. Aus diesem Grund kann man sie auch ausklammern, sofern sie in den Termen jeweils vorkommen. Alternativ kann man durch das Erweitern oder Kürzen von Brüchen dies erreichen.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Rund um das Thema Gleichungen würden sich zum Beispiel diese Themen anbieten:


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