Ebene: Normalenform in Koordinatenform

Die Umwandlung einer Ebene von der Normalenform in die Koordinatenform sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

• Eine Erklärung, wie man Ebenen umwandelt.
• Beispiele für die Umwandlung von Normalenform in eine Koordinatengleichung.
• Aufgaben / Übungen zum Umwandeln von Ebenen.
• Ein Video zur Ebenenumwandlung.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Um diese Ebenenumwandlung durchzuführen braucht ihr das Skalarprodukt. Wir werden dieses hier gleich noch vorstellen. Wem dies nicht reicht wirft jedoch noch einen Blick auf Skalarprodukt berechnen.

Normalenform in Koordinatengleichung Erklärung

Wir kommt man bei einer Ebene in der Normalenform in die Koordinatenform?

Allgemeine Vorgehensweise:

• Ausmultiplizieren (Distributivgesetz) um eine Gleichung zu erzeugen.
• Gleichung umstellen.
• Skalarprodukt jeweils berechnen.
• Vereinfachen der Gleichung.

Einschub: Skalarprodukt berechnen

Für die Umwandlung der Ebene von Normalenform in Koordinatenform brauchen wir das Skalarprodukt. Einige Schüler wissen vermutlich nicht mehr wie man das Skalarprodukt berechnet. Daher hier kurz noch die allgemeine Formel und ein Beispiel.

Beispiel: Wie man sehen kann muss man einfach Zeile für Zeile multiplizieren und dazwischen ein Pluszeichen setzen.

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Beispiel Normalenform in Koordinatengleichung

Sehen wir uns noch eine vorgerechnete Aufgabe an,

Beispiel: Normalenform in Koordinatenform

Wandle diese Gleichung in eine Koordinatengleichung um.

Lösung:

Wir stellen zunächst die Gleichung auf wie in der folgenden Grafik zu sehen. Wichtig: Manchmal haben wir nicht x₁, x₂ und x₃ sondern x, y und z. Im Anschluss stellen wir die Gleichung um.

Auf beiden Seiten der Gleichung berechnen wir das Skalarprodukt. Dazu multiplizieren wir Zeile für Zeile und setzen ein Pluszeichen jeweils dazwischen. Im Anschluss vereinfachen wir einfach nur noch.

Aufgaben / Übungen Ebenengleichungen umwandeln

Aufgabe 1:

In diesem Bereich erhaltet ihr die Möglichkeit die Ebenengleichungen umzuwandeln.

• Wandele mit einem linearen Gleichungssystem die folgende Parametergleichung in eine Koordinatengleichung um. Wie lautet die Lösung?

• 2x + 3y - z = 10,5
• 5x + 1,5y - z = 10,5
• 5x + 1,5y - z = 8
• 3x + 1,5y + 3z = 10,5

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Video Ebene umwandeln

Fragen mit Antworten Normalenform in Koordinatenform