Ebene: Parametergleichung in Koordinatengleichung

Die Umwandlung einer Ebene von Parametergleichung in Koordinatengleichung sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

• Eine Erklärung, wie man Ebenen umwandelt.
• Beispiele für die Umwandlung von Parameterdarstellung in Koordinatendarstellung.
• Aufgaben / Übungen zum Umwandeln von Ebenen.
• Ein Video zur Ebenenumwandlung.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits wisst, was eine Ebene in Parameterform ist. Falls nicht bitte in den eben angegeben Artikel reinsehen. Ansonsten sehen wir uns an wie man eine Ebene umwandelt.

Parameterform in Koordinatenform Beispiel

In der analytischen Geometrie ist es manchmal wichtig eine Ebene in eine andere Darstellung zu bringen. Hier sehen wir uns an wie man von der Parameterform in die Koordinatenform kommt.

Beispiel 1: Parametergleichung in Koordinatengleichung

Wandle diese Ebene in Parameterdarstellung in eine Koordinatendarstellung um.

Lösung:

• Im ersten Schritt bilden wir Zeile für Zeile jeweils eine Gleichung.
• Dabei haben wir x, y und z zu Beginn der Gleichungen und auf der rechten Seite tauchen r und s entsprechend auf.
• Die oberste Gleichung lösen wir nach r auf.
• Die mittlere Gleichung lösen wir nach s auf.

Wir haben r = x - 2 und s = 0,5y - 1,5 ausgerechnet. Dies setzen wir in die unterste Ausgangsgleichung mit z = 4 + 5r + 3s ein. Im Anschluss multiplizieren wir die Klammern aus und formen die Gleichung so um, dass die Zahl 10,5 auf der rechten Seite der Gleichung steht und der Rest auf der linken Seite der Gleichung.

Die Ebene in Koordinatengleichung wird mit 5x + 1,5y - z = 10,5 beschrieben.

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Parametergleichung in Koordinatengleichung Beispiel 2

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch ein Beispiel für die Umwandlung von Parameterdarstellung in Koordinatendarstellung an. Dabei ist das Gleichungssystem jedoch etwas anspruchsvoller zu lösen.

Beispiel 2: Parameterdarstellung in Koordinatendarstellung

Lösung:

Wir bilden wie im Beispiel 1 erneut Zeile für Zeile die Gleichungen. Es entsteht dieses lineare Gleichungssystem.

Es gibt verschiedene Möglichkeit so ein lineares Gleichungssystem zu lösen, wie zum Beispiel der Gauß-Algorithmus. Hier soll die Aufgabe noch einmal ausführlich gelöst werden. Ziel ist es r und s zu eliminieren. Dazu multiplizieren wir die oberste Gleichung mit 3, die mittlere Gleichung mit 4 und die untere Gleichung mit 6. Dadurch erhalten wir 12r in jeder Gleichung.

Von der obersten Gleichung subtrahieren wir die mittlere Gleichung. Von der mittleren Gleichungen subtrahieren wir die untere Gleichung. Wir erhalten dadurch 2 neue Gleichungen mit -5s und -10s. Die obere dieser beiden Gleichungen multiplizieren wir mit (-2). Danach addieren wir diese beiden Gleichungen und wir erhalten -6x + 8y + 4y -6z = 0. Diese vereinfachen wir noch.

Die Ebene in Koordinatenform lautet damit -6x + 12y -6z = 0.

Aufgaben / Übungen Ebene umwandeln

Aufgabe 1:

In diesem Bereich erhaltet ihr die Möglichkeit die Ebenengleichungen umzuwandeln.

• Wandele mit einem linearen Gleichungssystem die folgende Parametergleichung in eine Koordinatengleichung um. Wie lautet die Lösung?

• 3x + 1,5y + 3z = 10,5
• 2x + 3y - z = 10,5
• 5x + 1,5y - z = 8
• 5x + 1,5y - z = 10,5

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Video Ebene: Parameter zu Koordinaten

Fragen mit Antworten: Ebene Parameterform in Koordinatenform