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Kommutativgesetz Erklärung und Beispiele

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 20:29 Uhr

Das Kommutativgesetz sehen wir uns hier an. Dies bekommt ihr:

  • Eine Erklärung und Formeln, was das Kommutativgesetz besagt.
  • Viele Beispiele zum Kommutativgesetz.
  • Aufgaben / Übungen zu diesem Rechengesetz.
  • Videos zum Kommutativgesetz mit Erklärungen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich rund um dieses Thema.

Wir sehen uns gleich das Kommutativgesetz an. Wer hier Verständnisprobleme bekommen sollte, dem helfen vielleicht noch die Artikel zu den Grundrechenarten: Dies sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Erklärung Kommutativgesetz

Starten wir mit einer Erklärung. Das Kommutativgesetz ist eine Regel der Mathematik. Im Deutschen wird diese Rechenregel auch Vertauschungsgesetz genannt. Eine Definition:

Hinweis:

Das Kommutativgesetz sagt aus, dass man bei einer Addition oder bei einer Multiplikation von zwei Zahlen die Reihenfolge vertauschen kann. Das Ergebnis ändert sich dabei nicht. Das Kommutativgesetz gilt nur für Addition (plus rechnen) und Multiplikation (mal rechnen). Für die Subtraktion (minus rechnen) und Division (teilen) gilt das Kommutativgesetz nicht.

Das Kommutativgesetz wird mit zwei Formeln / Gleichungen für reelle Zahlen dargestellt.

Kommutativgesetz der Addition:

Kommutativgesetz Formel / Gleichung Addition

Kommutativgesetz der Multiplikation:

Kommutativgesetz Multiplikation Formel / Gleichung

Eigentlich also ganz einfach. Dennoch sehen wir uns dies mit einigen Zahlen einmal an.

  • 5 + 3 = 3 + 5
  • 5 + 3 = 8
  • 3 + 5 = 8

  • 4 · 2 = 2 · 4
  • 4 · 2 = 8
  • 2 · 4 = 8

Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion und das Kommutativgesetz gilt auch nicht für die Division. Zur Verdeutlichung auch hier ein paar Zahlen:

  • 5 - 2 = 2 - 5 falsch
  • 5 - 2 = 3
  • 2 - 5 = -3

  • 8 : 2 = 2 : 8 falsch
  • 8 : 2 = 4
  • 2 : 8 = 0,25

Kommutativgesetz Vektoren:

Das Kommutativgesetz gilt auch bei der Addition von Vektoren. Wer Vektoren noch nicht kennt: Mit Vektoren beschreibt man Richtungen. Auch hier ein Beispiel: Ob ich erst 2 Meter nach oben und dann 3 Meter nacht rechts gehe oder ob ich erst 3 Meter nach rechts gehe und danach 2 Meter nach oben macht keinen Unterschied. Ich lande stets an der gleichen Stelle.

Kommutativgesetz Addition Vektoren

Im nächsten Abschnitt sehen wir uns weitere Beispiele zum Kommutativgesetz an.

Beispiele Kommutativgesetz

In diesem Abschnitt sehen wir uns eine Reihe an Beispielen zum Kommutativgesetz an.

Beispiel 1:

Es folgen eine Reihe an Aufgaben. Sage, ob für die Aufgabe das Kommutativgesetz gilt und berechne die Lösung.

  • 16 : 8 =
  • 9 · 3 =
  • 7 - 4 =
  • 8 + 3 =

Lösung:

  • 16 : 8 = 2 ist nicht kommutativ.
  • 9 · 3 = 27 ist kommutativ.
  • 7 - 4 = 3 ist nicht kommutativ.
  • 8 + 3 = 11 ist kommutativ.

Beispiel 2:

Zeige mit dem Zahlenstrahl, dass 3 + 4 = 7 kommutativ ist.

Lösung:

Wir zeichnen 3 + 4 und 4 + 3 jeweils auf einen Zahlenstrahl ein. Wie man sehen kann, landen wir in beiden Fällen auf der 7.

Kommutativgesetz Beispiel 2 Zahlenstrahl

Beispiel 3:

Das Kommutativgesetz soll nun für eine Flächenberechnung gezeigt werden. Eine Tafel Schokolade soll 20 Zentimeter lang und 10 Zentimeter breit sein. Berechne die Fläche der Tafel!

Lösung:

Diese Tafel Schokolade ist ein Rechteck. Man berechnet die Fläche, indem man die Länge mit der Breite multipliziert. Ob man jedoch Länge mal Breite oder Breite mal Länge rechnet ändert an der Fläche der Tafel Schokolade nichts.

Kommutativgesetz Beispiel 3 Fläche

Beispiel 4:

Brüche stellen Anteile an etwas ganzem dar. Nehmen wir an, wir teilen eine Pizza in 4 gleichgroße Stücke. Davon nehmen wir erst einmal ein Stück Pizza und dann 2 weitere Stücke Pizza. Wie viel der Pizza wurde nun genommen. Spielt die Reihenfolge dabei eine Rolle?

Lösung:

Kommutativgesetz Beispiel 4

Ob ich erst 1 Stück nehme und dann 2 Stücke oder erst 2 Stücke und danach 1 Stück spielt keine Rolle. Am Ende sind es stets 3 von 4 Stücken.

Aufgaben / Übungen Kommutativgesetz

Aufgabe 1: Was ergibt 5 + 3?

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Kommutativgesetz Video

Erklärung Kommutativgesetz

Im nächsten Video wird das Kommutativgesetz behandelt. Dabei wird die Formel bzw. Gleichung hinter dieser Regel erklärt und es werden entsprechende Beispiele mit Zahlen vorgerechnet. Dieses Video eignet sich zum Einstieg in das Thema.


Nächstes Video »

Kommutativgesetz Fragen mit Antworten

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zum Kommutativgesetz an.

F: Wie sieht es mit dem Kommutativgesetz bei Skalarprodukt, Mengenoperation und Matrizenrechnung aus?

A: Hier eine kurze Zusammenfassung:

  • Das Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum ist kommutativ.
  • In einem komplexen Vektorraum ist das Skalarprodukt dagegen nicht kommutativ.
  • In der Mengenlehre sind die Vereinigung und der Schnitt kommutative Operationen.
  • Bei der Mengenlehre gilt aber auch, dass die Differenz nicht kommutativ ist.
  • Die Addition von Matrizen über einem Ring oder Körper ist kommutativ.
  • Die Multiplikation von Matrizen ist dagegen nicht kommutativ.
  • Kommutativ sind die Multiplikation von Matrizen mit Skalaren.

F: Wann wird das Kommutativgesetz in der Schule behandelt?

A: In der Grundschule wird im Prinzip das Kommutativgesetz schon benutzt. Hier nennt man dies Tauschaufgaben. Richtig unter dem Namen Kommutativgesetz taucht diese Rechenregel dann meistens in der 5. Klasse auf.

F: Welche anderen Rechenregeln sollte man noch können?

A: Neben dem Kommutativgesetz gibt es noch das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. Daneben gibt es noch die Regel Punkt vor Strich und den Umgang mit Klammern.


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