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Mehrstufige Zufallsversuche (Zweistufig)

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 07. März 2018 um 21:00 Uhr

Was ein zweistufiger bzw. mehrstufiger Zufallsversuch ist, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was mehrstufige Zufallsversuche sind.
  • Beispiele um dies besser zu verstehen.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Ein Video zu Zufallsversuchen bzw. Zufallsexperimenten.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns gleich mehrstufige Zufallsversuche an. Dazu ist es hilfreich, wenn ihr wisst, was ein einstufiges Zufallsexperiment ist. Wer dies nicht weiß, kann gerne hier reinsehen: Zufallsexperiment / Zufallsversuch.

Erklärung mehrstufige Zufallsversuche

Sehen wir uns kurz eine Definition an:

Hinweis:

Ein Zufallsexperiment kann aus mehreren zufälligen Teilvorgängen bestehen. Man spricht in diesem Fall von einem mehrstufigen Zufallsversuch. Sind es zwei Teilvorgänge, dann spricht man auch von einem zweistufigen Zufallsversuch.

Beispiel 1: Münzwurf

Ein typischer Zufallsversuch aus zwei oder mehr Stufen im Unterricht ist der Münzwurf. Bei einem Münzwurf kann Zahl oder Wappen fallen. Dies notiert man auch in der ersten Stufe mit W für Wappen und Z für Zahl.

Im Anschluss kann man die Münze noch ein zweites Mal werfen. So kann nach Wappen erneut Wappen fallen oder Zahl. Oder im ersten Versuch fällt Zahl, dann kann im Anschluss erneut Zahl fallen oder Wappen. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl oder Wappen ist in jedem Fall 1/2. Dies schreiben wir an das Baumdiagramm, denn genau so nennt man das was in der nächsten Grafik zu sehen ist:

Mehrstufiges Zufallsexperiment Beispiel 1

Es gibt zwei Regeln, welche man bei einem Baumdiagramm anwenden kann. Diese bezeichnet man als Produktregel und als Pfadregel der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Im nächsten Abschnitt sehen wir uns beide Regeln an.

Beispiel zweistufiges Zufallsexperiment

Bei diesem Beispiel zum zweistufigen Zufallsexperiment sehen wir uns jetzt die beiden Regeln an. Mit der Produktregel kann man berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein bestimmter Pfad durchlaufen wird. Dazu multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

Beispiel Pfadregel: Es soll erst Zahl und dann Wappen fallen. Markiere dies im Baumdiagramm und berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies passiert.

Lösung:

Mehrstufiges Zufallsexperiment Beispiel 1 Baumdiagramm für Pfadregel

Wie multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades:

Mehrstufiges Zufallsexperiment Beispiel 1 Pfadregel Rechnung

Die Wahrscheinlichkeit das erst Zahl und dann Wappen fällt ist 1/4.

Beispiel Summenregel: Es soll berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau 1 Mal Wappen fällt. Zeichne dies ein und berechne die Wahrscheinlichkeit.

Lösung: Gefragt ist, wie man 1 Mal Wappen erreicht. Nicht 2 Mal Wappen und nicht 0 Mal Wappen, sondern genau 1 Mal. Wir erreichen dies durch die Reihenfolge Wappen-Zahl (WZ) oder umgekehrt Zahl-Wappen (ZW). Dies wird einmal in rot und einmal in grün eingezeichnet.

Mehrstufiges Zufallsexperiment Beispiel 1 Summenregel

Wie berechnen die Wahrscheinlichkeit für Wappen-Zahl (in rot) und Zahl-Wappen (in grün):

Mehrstufiges Zufallsexperiment Beispiel 1 Summenregel Rechnung

Wir kennen jetzt die Wahrscheinlichkeit für die beiden einzelnen Pfade. Also für jeden einzelnen Pfad, der das gewünschte Ergebnis ergibt. Um das Gesamtergebnis zu erhalten, müssen wir die beiden Einzelpfade addieren:

Mehrstufiges Zufallsexperiment Beispiel 1 Summenregel Rechnung

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Mal Wappen fällt ist damit 1/2.

Aufgaben / Übungen mehrstufige Zufallsversuche

Aufgabe 1: Ab wann bezeichnet man einen Zufallsversuch als mehrstufig?

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Video Zufallsversuche

Beispiele und Erklärungen

Dies sehen wir uns im nächsten Video an:

  • Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
  • Was ein Zufallsversuch überhaupt ist.
  • Es werden Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung besprochen.
  • Im Anschluss geht es um einstufige und mehrstufige Zufallsversuche.
  • Das Baumdiagramm wird vorgestellt.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zweistufige Zufallsversuche

In diesem Abschnitt geht es um typische Fragen mit Antworten zu zweistufigen bzw. mehrstufigen Zufallsexperimenten.

F: Wo finde ich mehr zu Zufallsversuchen?

A: Seht euch einmal diese Inhalte an:

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Die Basis der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird oft schon in der Grundschule bzw. 5. Klasse besprochen. Eine Definition für (mehrstufige) Zufallsversuch oder andere Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung folgen jedoch meistens erst ab der 6. Klasse oder 7. Klasse der Schule.


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