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Nullstellen quadratische Funktion / Gleichung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 25. Juni 2018 um 17:59 Uhr

Das Berechnen von Nullstellen bei quadratischen Funktionen bzw. quadratischen Gleichungen wird hier erklärt. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, was Nullstellen und quadratische Funktionen / Gleichungen sind und wie man diese findet.
  • Beispiele mit PQ-Formel und ABC-Formel um die Nullstellen zu berechnen.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr selbst quadratische Funktionen / Gleichungen berechnen lernt.
  • Mehrere Videos, die euch das Auffinden der entsprechenden Stellen zeigen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich mit typischen Fragen zu Nullstellen bei quadratischen Funktionen / Gleichungen.

Wir sehen uns hier gleich an, was Nullstellen sind und was man unter quadratischen Funktionen oder quadratische Gleichungen versteht. Wer Schwierigkeiten mit den Inhalten bekommt, dem fehlen vielleicht ein paar Vorkenntnisse. Wenn dies bei euch eintritt, dann bitte erst einmal einen Blick in die Themen lineare Gleichungen lösen und Funktionen zeichnen werfen.

Erklärung: Nullstellen quadratische Funktion oder Gleichung

Was ist eine quadratische Funktion oder quadratische Gleichungen? Nun, eine quadratische Gleichung hat die Form:

Nullstellen quadratische Funktion / Gleichung Allgemein

Beispiele für quadratische Gleichungen:

Nullstellen quadratische Funktion / Gleichung Beispiele

Wenn man eine quadratische Gleichung zeichnet, dann kann dies zum Beispiel so aussehen wie in der nächsten Grafik. Die Nullstellen wurden dabei mit kleinen roten Kreisen markiert. Dies sind also die Stellen, an denen der Kurvenverlauf die x-Achse schneidet. An diesen Stellen ist y = 0. Wir werden dies für die Berechnung der Nullstellen in den nächsten Abschnitten ausnutzen.

Nullstellen quadratische Funktion / Gleichung eingezeichnet

Wie kann man diese Nullstellen berechnen? Dazu sehen wir uns gleich zwei Möglichkeiten an: Die PQ-Formel und die Mitternachtsformel.

Beispiele: Nullstellen quadratische Gleichung finden

Jeder sollte nun wissen, was Nullstellen sind und was eine quadratische Gleichung ist. Mit diesem Wissen sollen nun Beispiele berechnet werden. Wir nehmen also eine Gleichung und versuchen durch Rechnungen die Nullstellen zu finden. Wir berechnen daher ein Beispiel mit der PQ-Formel und mit der ABC-Formel.

Nullstellen PQ-Formel:

Fangen wir mit der Berechnung von Nullstellen bei quadratischen Funktionen bzw. quadratischen Gleichungen an. Dazu nehmen wir als erstes die PQ-Formel. Um diese einsetzen zu können, muss man zunächst die Gleichung so umformen, dass vor x2 eine 1 steht und diese auf die Form mit = 0 bringen. Im Anschluss kann man p und q einfach ablesen und in die Gleichung einsetzen. Zunächst die allgemeine Gleichung für die Berechnung der Lösung, danach das Beispiel.

Nullstellen quadratische Funktion / Gleichung Lösungsformel

Beispiel 1: PQ-Formel

Nehmen wir die Gleichung 3x2 + 9x + 5 = - 1 als Beispiel und lösen diese mit der PQ-Formel. Dazu teilen wir erst durch 3 um 1x2 zu erzeugen und formen dann auf = 0 um. Wir lesen p und q ab, setzen dies in die Gleichung ein und erhalten die Nullstellen bei x1 = -1 und x2 = -2.

Nullstellen quadratische Gleichung PQ-Formel Beispiel 1

Weitere Beispiele zur PQ-Formel findet ihr in unserem Artikel PQ-Formel. Als nächstes sehen wir uns gleich dieses Beispiel noch einmal mit der ABC-Formel an.

Beispiel 2: Mitternachtsformel

Wir nehmen das Beispiel 1 und rechnen diese Gleichung noch einmal mit der ABC-Formel durch. Hinweis: Die ABC-Formel wird manchmal auch als Mitternachtsformel bezeichnet. Also weiter zur ABC-Formel. Auch hier bringt man die Gleichung auf die Form mit = 0, allerdings darf vor x2 auch eine andere Zahl als 1 stehen.

Nullstellen quadratische Funktion / Gleichung ABC-Formel Lösungsformel

Mit genau dieser Lösungsgleichung zur Mitternachtsformel berechnen wir das Beispiel von weiter oben noch einmal. Wir formen also nach = 0 um, lesen a, b und c ab und berechnen damit das Ergebnis. Und wie man sehen kann, liegen auch bei dieser Methode die Nullstellen bei bei x1 = -1 und x2 = -2.

Nullstellen quadratische Funktion / Gleichung mit ABC-Formel Beispiel 2

Wie man sehen kann: PQ-Formel und Mitternachtsformel liefern identische Nullstellen.

Nullstellen quadratische Funktion / Gleichung

Aufgabe 1: Hier werden nun Rechenaufgaben und Fragen rund um quadratrische Funktionen / Gleichungen gestellt. Wer eine Frage oder Aufgabe nicht mag, der kann auf "Überspringen" klicken. Fangen wir mit einer Frage an, bevor wir zum Rechnen kommen. Wie nennt man die ABC-Formel noch?

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Videos Nullstellen quadratische Funktion / Gleichung

Nullstellen quadratische Funktion Beispiele

In diesem Video wird gezeigt, wie man die Nullstellen verschiedener quadratischer Funktionen findet. Dazu wird zunächst grafisch kurz erklärt, was eine Nullstelle überhaupt ist und wie man eine Parabel verschieben kann. Im Anschluss werden zahlreiche Beispiele vorgerechnet:

  • f(x) = x² + 4 = 0
  • f(x) = x² = 0
  • f(x) = x² - 4 = 0
  • f(x) = (x - 1)² = 0
  • f(x) = x² + 2x = 0

Dieses Video habe ich auf Youtube.com gefunden.


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Fragen und Antworten zu Nullstellen bei quadratischen Funktionen

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen rund um die Berechnung von Nullstellen bei quadratischen Funktionen bzw. quadratischen Gleichungen an.

F: Wo finde ich weitere Informationen zur Berechnung von Nullstellen?

  • PQ-Formel: Die PQ-Formel haben wir bereits hier etwas besprochen. Wir haben dazu aber noch einen Extra-Artikel mit einer ganzen Reihe an weiteren Beispielen und Aufgaben anzubieten. Diesen findet ihr unter dem Link PQ-Formel.
  • ABC-Formel: Auch zur ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel haben wir einen gesonderten Artikel. Diese stellt eine Alternative zur PQ-Formel dar und wir haben auch hier noch viele Beispiele und Aufgaben im Angebot. Diesen findet ihr unter der ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel.
  • Polynomdivision: Haben wir eine Funktion 3. Grades oder noch höher, dann reichen uns PQ-Formel oder ABC-Formel nicht mehr aus. In diesem Fall kann man zum Beispiel die Polynomdivision einsetzen, um die Nullstellen zu berechnen. Siehe hierzu den Artikel Polynomdivision.

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