Parameterform in Koordinatenform

Die Umwandlung einer Ebene von Parameterform in Koordinatenform sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

• Eine Erklärung, wie man Ebenen umwandelt.
• Beispiele für die Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform.
• Aufgaben / Übungen zum Umwandeln von Ebenen.
• Ein Video zur Ebenenumwandlung.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Hinweis: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits wisst, was eine Ebene in Parameterform ist. Falls nicht bitte in dem eben angegeben Artikel lesen. Ansonsten sehen wir uns an wie man eine Ebene umwandelt.

Parametergleichung in Koordinatengleichung Erklärung

In der Mathematik ist es manchmal interessant eine Ebene in eine andere Darstellung zu bringen. Hier sehen wir uns an wie man von der Ebene in Parameterform in die Koordinatenform kommt.

Beispiel 1: Parameterform in Koordinatenform

Wandle diese Ebene in Parameterform in eine Koordinatenform um.

Lösung:

• Wir bilden Zeile für Zeile jeweils eine Gleichung.
• Dabei haben wir x, y und z auf der linken Seite der Gleichung und auf der rechten Seite tauchen r und s entsprechend auf.
• Die oberste der Gleichungen lösen wir nach r auf.
• Die mittlere der Gleichungen lösen wir nach s auf.

Wir haben r = x - 2 und s = 0,5y - 1,5 ausgerechnet. Dies setzen wir in die unterste Startgleichung mit z = 4 + 5r + 3s ein. Danach multiplizieren wir die Klammern aus und formen so um, dass die Zahl 10,5 auf der rechten Seite der Gleichung steht und der Rest auf der linken Seite.

Die Ebene in Koordinatenform wird mit 5x + 1,5y - z = 10,5 beschrieben.

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Parameterform in Koordinatenform Beispiel 2

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch eine Aufgabe für die Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform an. Dabei ist das Gleichungssystem jedoch etwas schwieriger zu lösen.

Beispiel 2: Parameterform in Koordinatenform

Lösung:

Wir bilden wie im Beispiel 1 erneut Zeile für Zeile die Gleichungen.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten so ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) zu lösen, wie zum Beispiel der Gauß-Algorithmus. Hier soll die Aufgabe noch einmal ausführlich gelöst werden. Unser Ziel ist es r und s zu eliminieren. Dazu multiplizieren wir die oberste Gleichung mit 3, die mittlere Gleichung mit 4 und die untere Gleichung mit 6. Dadurch erhalten wir 12r in jeder der drei Gleichung.

Von der ersten Gleichung subtrahieren wir die zweite Gleichung. Von der zweiten Gleichungen subtrahieren wir die dritte Gleichung. Wir erhalten dadurch 2 neue Gleichungen mit -5s und -10s. Die obere davon multiplizieren wir mit (-2). Danach addieren wir diese beiden Gleichungen und wir erhalten -6x + 8y + 4y -6z = 0. Diese vereinfachen wir noch.

Die Ebene in Form der Koordinatenform lautet damit -6x + 12y -6z = 0.

Aufgaben / Übungen Ebenengleichungen umwandeln

Aufgabe 1:

In diesem Bereich erhaltet ihr die Möglichkeit die Ebenengleichungen umzuwandeln.

• Wandele mit einem linearen Gleichungssystem die folgende Parametergleichung in eine Koordinatengleichung um. Wie lautet die Lösung?

• 5x + 1,5y - z = 8
• 3x + 1,5y + 3z = 10,5
• 2x + 3y - z = 10,5
• 5x + 1,5y - z = 10,5

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Video Ebene: Parameterform zu Koordinatenform

Fragen mit Antworten: Ebene Parameterform in Koordinatenform