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Wurzelgleichungen: Gleichungen mit Wurzel

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 03. März 2019 um 20:14 Uhr

Wie man eine Wurzelgleichung berechnet, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Definition / Erklärung, was eine Wurzelgleichung ist.
  • Beispiele wie man eine Wurzelgleichung löst.
  • Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Ein Video zum Umgang mit Wurzelgleichungen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier gleich an wie man Wurzelgleichungen lösen kann. Ihr solltet dazu jedoch Wissen wie man einfache Wurzeln berechnet und wie man lineare Gleichungen auflöst. Wer davon keine Ahnung hat, sollte bitte erst in die genannten Inhalte rein sehen, sonst wird es in den nächsten Abschnitten besonders schwer.

Wurzelgleichungen: Definition und Erklärung

Fangen wir erst einmal damit an was eine Wurzelgleichung überhaupt ist. Daher erst eine Definition für Wurzelgleichungen:

Hinweis:

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung bei der eine Wurzel vorkommt. Unter dieser Wurzel kommt dabei mindestens eine Variable vor. Unter der Wurzel darf keine negative Zahl entstehen (daher Definitionsmenge berechnen). Es können falsche Ergebnisse entstehen, daher ist eine Probe durchzuführen.

Vorgehensweise zum Lösen einer Wurzelgleichung:

  1. Definitionsmenge bestimmen.
  2. Wurzel auf eine Seite der Gleichung bringen.
  3. Gleichung quadrieren.
  4. Nach einer Variablen auflösen.
  5. Ergebnis mit Probe kontrollieren.

Beispiel 1: Wurzelgleichung mit einer Wurzel

Wir haben die folgende Wurzelgleichung. Bestimmte die Definitionsmenge und löse die Aufgabe.

Wurzelgleichungen Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

In der Mathematik (der Schule gilt): Aus einer negativen Zahl darf keine Wurzel gezogen werden. Aus diesem Grund muss die Wurzel mindestens 0 oder größer sein. Dies berechnen wir und erhalten als Ergebnis, dass x maximal 4 groß sein darf. Dies schreiben wir in die Definitionsmenge.

Wurzelgleichungen Beispiel 1 Definitionsmenge

Nach der Definitionsmenge soll jetzt die Wurzelgleichung berechnet werden. Dazu isolieren wir zunächst die Wurzel: Die Wurzel kommt auf eine Seite der Gleichung und der Rest auf die andere Seite. Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung und lösen nach x auf.

Wurzelgleichungen Beispiel 1 Berechnung

Löst x = 1 wirklich unsere Wurzelgleichung? Wir testen dies mit einer Probe. Da diese Probe erfolgreich ist, können wir x = 1 in die Lösungsmenge schreiben.

Wurzelgleichungen Beispiel 1 Probe und Lösungsmenge

Wurzelgleichung Beispiel: Wurzel beide Seiten

In diesem Abschnitt sehen wir uns ein weiteres Beispiel zu Wurzelgleichungen an. Dazu gibt es zunächst eine Wurzelgleichung mit Wurzeln auf beiden Seite der Gleichung. Hier muss die Definitionsmenge berechnet werden und im Anschluss die Lösung.

Beispiel 2: Wurzel auf beiden Seiten

Wir haben eine Wurzelgleichung mit Wurzeln auf beiden Seiten der Gleichung. Wie lauten Definitionsmenge und Lösungsmenge? Führe eine Probe durch!

Wurzelgleichungen Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Wir starten zunächst mit der Berechnung der Definitionsmenge. Dazu muss bei beiden Wurzeln mindestens eine Null unter der Wurzel entstehen oder eben größer. Wir rechnen dies für beide Wurzeln aus. Dabei wird klar: Ist eine Zahl größer als -1,333... dann ist sie auch größer als -4. Aus diesem Grund schreiben wir nur die -1,333... in die Definitionsmenge.

Wurzelgleichungen Beispiel 2 Berechnung

Fehlt uns noch die eigentliche Rechnung. Wir quadrieren dazu beide Seiten der Wurzelgleichung um eine Gleichung ohne Wurzeln zu erzeugen. Im Anschluss müssen wir nur noch nach 4 = x auflösen.

Wurzelgleichungen Beispiel 2 Rechnung

Ist x = 4 die richtige Lösung? Wir setzen diese Lösung in die Gleichung ein und sehen, dass sie stimmt. Daher kommt x = 4 in die Lösungsmenge.

Wurzelgleichungen Beispiel 2 Probe und Lösungsmenge

Aufgaben / Übungen Gleichung mit Wurzel

Aufgabe 1: Wie lautet die Definitionsmenge der folgenden Wurzelgleichung?

Wurzelgleichungen Beispiel 1 Aufgabe

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Video Wurzelrechnung

Beispiele und Erklärungen

In diesem Video werden die Wurzelgleichungen behandelt. Dies sehen wir uns an:

  • Was ist eine Wurzelgleichung?
  • Wie löst man solch eine Gleichung?
  • Wie berechne ich die Lösungsmenge?
  • Wie führe ich eine Probe durch?

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Wurzelgleichungen

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu Wurzelgleichungen an.

F: Gibt es auch Wurzelgleichungen bei denen man mehrfach quadrieren muss?

A: Wenn die Frage schon so gestellt wird ist die Antwort natürlich ja. Nach dem ersten Quadrieren existiert im Anschluss noch immer eine Wurzel. Nach dieser muss die Gleichung aufgelöst werden und im Anschluss muss erneut ein Quadrieren durchgeführt werden. Beachtet am Ende, dass ihr wieder eine Probe durchführen müsst.

F: Was sollte man noch zu Gleichungen mit Wurzeln wissen?

Gleichungen mit Wurzeln können auch etwas schwieriger werden. Ihr solltet daher noch die Bruchrechnung und die Binomischen Formeln beherrschen. Jedoch werden solche Arten etwas seltener behandelt und sind daher nicht Teil dieses Artikels.

F: Welche Inhalte sollte ich mir noch ansehen?

A: Werft noch einen Blick auf diese Inhalte:


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