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Kathetensatz berechnen mit Formeln

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 26. November 2018 um 15:51 Uhr

Erklärungen und Formeln zum Kathetensatz werden hier behandelt. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, was der Kathetensatz ist.
  • Beispiele für Berechnungen mit dem Kathetensatz.
  • Übungen damit ihr die Formeln selbst einsetzen lernt.
  • Ein Video zum Kathetensatz.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier gleich den Kathetensatz an. Hilfreich für dessen Verständnis ist es, wenn ihr bereits den Satz des Pythgaoras kennt. In einem weiteren Artikel sehen wir uns auch noch den Höhensatz an.

Kathetensatz Definition

Nicht nur mit dem Satz des Pythagoras wird an einem rechtwinkligen Dreieck gerechnet, sondern auch mit dem Kathetensatz des Euklid. Die nächste Grafik zeigt ein Dreieck mit einem rechten Winkel in der Spitze. Von dort aus wird eine Höhe h eingezeichnet, welche die Seite c in zwei Teile unterteilt.

Kathetensatz Erklärung

Beim Kathetensatz werden p und q als Hypotenusenabschnitte bezeichnet. Sehen wir uns kurz eine Definktion zum Kathetensatz an:

Hinweis:

Bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Das Quadrat einer Kathetenlänge ist von der Fläche genau so groß wie das Rechteck aus dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt und der gesamten Hypotenuse.

  • Quadriere ich die Länge der Kathete "a" ist die Fläche genauso groß wie das Produkt aus dem darunter liegenden Hypotenusenabschnitt p multipliziert mit der Hypotenuse "c".
  • Quadriere ich die Länge der Kathete "b" ist die Fläche genauso groß wie das Produkt aus dem darunter liegenden Hypotenusenabschnitt q multipliziert mit der Hypotenuse "c".

Um mit dem Kathetensatz rechnen zu können, nehmen sehen wir uns zunächst die allgemeinen Formeln zum Kathetensatz an. Im Anschluss werden diese Formeln umgestellt.

Formeln Kathetensatz:

Kathetensatz Formeln

Kathetensatz Formel Hypotenusenabschnitt

Die Formeln zum Kathetensatz können auch umgestellt werden.

Kathetensatz Formeln umstellen:

Kathetensatz Formeln umstellen

Kathetensatz berechnen mit Beispiel

Wie man den Kathetensatz anwendet, sehen wir uns hier an einem Beispiel an.

Beispiel 1: Anwendung Kathetensatz

Ein Dachboden wurde ausgemessen und eine kleine Skizze angefertigt. Wie lange sind die beiden Dachseiten? Wie hoch ist der Dachboden an seiner höchsten Stelle?

Kathetensatz Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Vergleichen wir unsere Grafik vom Dach mit der Grafik zum Kathetensatz, dann sehen wir, dass wir p = 2,10 m und q = 6,70 m kennen. Mit diesen Angaben können wir die Breite des Dachbodens (c) berechnen:

Kathetensatz Beispiel 1 Lösung Teil 2

Die Längen der Dachschrägen werden in der Grafik zum Kathetensatz mit a und b bezeichnet. In die beiden Gleichungen um a und b zu berechnen müssen wir einfach nur c, p und q einsetzen.

Kathetensatz Beispiel 1 Lösung Teil 3

Fehlt uns noch die Höhe vom Dachboden. Diese bekommen wir mit dem Satz des Pythagoras raus.

Kathetensatz Beispiel 1 Lösung Teil 4

Eine Kathete dabei ist a, die andere Kathete ist die Höhe h und die Hypotenuse ist die längste Seite mit 7,678 Metern.

Kathetensatz Beispiel 1 Lösung Teil 5

Die Höhe des Dachs ist damit 3,75 Meter (höchste Stelle).

Aufgaben / Übungen Kathetensatz

Aufgabe 1: Bevor wir rechnen ein paar Fragen rund um den Kathetensatz. Die Frage bezieht sich auf die nächste Grafik: Wie berechnet man c am einfachsten?

Kathetensatz Erklärung

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Video Satz des Euklid

Höhensatz und Kathetensatz

In vielen Fällen werden der Höhensatz des Euklid und der Kathetensatz des Euklid gemeinsam behandelt. Dies ist auch im nächsten Video der Fall. Dies sehen wir uns an:

  • Höhensatz und Kathetensatz des Euklid
  • Erklärungen zu beiden Sätzen
  • Die Formeln zu Höhensatz und Kathetensatz
  • Beispiele mit Zahlen und Einheiten

Nächstes Video »

Kathetensatz: Fragen mit Antworten

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Kathetensatz an.


F: Wann wird der Kathetensatz in der Schule behandelt?

A: Der Kathetensatz des Euklid (und auch der Höhensatz) werden meistens in der 9. Klasse und in der 10. Klasse in der Schule behandelt. Darüber hinaus tauchen diese oftmals in Abschlussprüfungen auf. Jedoch sollte jeder Auszubildende (oder der es werden möchte) daran erinnert sein, dass der Kathetensatz auch in manchen Einstellungstests angewendet wird.

F: Gibt es auch eine Umkehrung zum Kathetensatz?

A: Ja, gibt es. Ganz einfach ausgedrückt ist ein Dreieck rechtwinklig wenn die Formeln zum Kathetensatz eine richtige Lösung liefern.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Rund um den Kathetensatz empfehlen sich noch diese Inhalte:


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