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Winkelfunktionen: Sinus, Kosinus und Tangens

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 19. November 2018 um 16:00 Uhr

Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens werden hier behandelt. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, wie man bei einem rechtwinkligen Dreieck die Winkel berechnet.
  • Beispiele und Formeln zu den Winkelfunktionen.
  • Übungen damit ihr dies alles selbst üben könnt.
  • Ein Video zur Nutzung der Winkelfunktionen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wenn ihr Schwierigkeiten bekommt mit dem Verständnis der nächsten Inhalte, dann werft einen Blick auf diese Inhalte: Dreieck und Wurzel ziehen sowie Wurzelgesetze.

Winkelfunktionen Formeln

In der Mathematik interessiert man sich immer mal wieder für die Größe von Winkeln und die Länge von Seiten. Mit den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus oder auch Tangens kann man diese Größen oftmals berechnen. Werfen wir dazu zunächst einen Blick auf ein rechtwinkliges Dreieck:

Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

Um die Winkelfunktionen einsetzen zu können, muss man wissen wo sich Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse befinden. Die Begriffe beziehen sich auf den Winkel Alpha:

  • Hypotenuse: Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.
  • Gegenkathete: Die Gegenkathete liegt gegenüber dem Winkel Alpha, daher der Name Gegenkathete.
  • Ankathete: Die Ankathete liegt am Winkel Alpha, daher der Name Ankathete.

Dies ist wichtig zu Winkelfunktionen:

Hinweis:

Die Hypotenuse ist die längste Seite, die Ankathete liegt direkt am gewünschten Winkel und die Gegenkathete gegenüber von diesem Winkel. Die Winkelfunktionen werden am einem rechtwinkligen Dreieck verwendet.

Kennt man die Katheten und die Hypotenuse kann man den Winkel mit den Gleichungen / Formeln zu Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.

Winkelfunktionen Formeln

Beispiele Sinus, Kosinus und Tangens Beispiele

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man mit den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet

Beispiel 1: Winkelfunktionen

Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm. Berechne den Winkel Alpha mit Sinus, Kosinus und Tangens. Berechne im Anschluss die Winkelgröße von Beta.

Winkelfunktionen Beispiel 1

Lösung:

Wir möchten den Winkel Alpha berechnen. Daher müssen wir zunächst rausfinden wo sich Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse befinden.

  • Die Hypotenuse ist die längste Seite. Die grüne Seite ist damit die Hypotenuse.
  • Die Ankathete ist die Kathete direkt am Winkel, also die rote Seite in unserer Grafik.
  • Die Gegenkathete liegt gegenüber dem Winkel (daher Gegenkathete), ist damit die blaue Seite.

Winkelfunktion Sinus: Formel und Beispiel:

Starten wir mit der Winkelfunktion Sinus. Die Formel besagt, dass wir zunächst die Gegenkathete und die Hypotenuse brauchen. Diese sind 4 cm (blaue Seite) und 5 cm (grüne Seite) lang. Wir setzen dies in die Gleichung ein und berechnen dies zu 0,8.

Wir möchten jedoch nicht den Sinus von Alpha berechnen, sondern nur Alpha. Dazu benötigen wir die Umkehrung von "sin" welche man als arcsin oder sin-1 bezeichnet. Die meisten Taschenrechner haben eine entsprechende Taste um dies zu berechnen. Diese verwenden wir und berechnen den arcsin von 0,8 mit dem Taschenrechner. Der Winkel Alpha ist damit 53,13 Grad groß. Wichtig: Der Taschenrechner muss für die korrekte Berechnung auf DEG gestellt werden.

Winkelfunktionen Beispiel 1 Sinus

Winkelfunktion Kosinus: Formel und Beispiel:

Die Winkelfunktion Kosinus ist die zweite Möglichkeit den Winkel zu berechnen. Wir benötigen dazu die Länge der Ankathete und der Hypotenuse. Diese sind laut unserer Grafik 3 cm und 5 cm lang. Berechnen wir den Bruch erhalten wir 0,6. Wir suchen den Winkel Alpha und nicht den Kosinus von Alpha.

Dazu benötigen wir die Umkehrung von "cos" welche man als arccos oder cos-1 bezeichnet. Die meisten Taschenrechner haben eine entsprechende Taste für die Berechnung. Diese verwenden wir und berechnen den arccos von 0,6. Der Winkel Alpha ist damit 53,13 Grad groß. Wichtig: Achtet darauf, dass der Taschenrechner auf DEG steht.

Winkelfunktionen Beispiel 1 Kosinus

Winkelfunktion Tangens: Formel und Beispiel:

Fehlt uns noch die Winkelfunktion Tangens. Dazu brauchen wir die Länge der Gegenkathete und der Ankathete. Diese sind 4 cm und 3 cm lang. Der Bruch ergibt 1,333. Auch hier suchen wir nicht den Tangens von Alpha sondern nur den Winkel Alpha. Die Umkehrung führen wir wieder mit arctan bzw. tan-1 durch. Den Taschenrechner auf DEG stellen ergibt erneut die Winkelgröße 53,13 Grad.

Winkelfunktionen Beispiel 1 Tangens

Beta berechnen:

Die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180 Grad. Wir haben einen rechten Winkel mit 90 Grad und Alpha wurde mit 53,13 Grad berechnet. Der Rest entfällt auf Beta:

Winkelfunktionen Beispiel 1 Beta-Winkel

Der Winkel Beta ist etwa 36,87 Grad groß.

Hinweis:

Mit den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens kann auch die Länge von Seiten berechnen werden. Dazu müssen die Formeln / Gleichungen nach der Ankathete, Gegenkathete oder Hypotenuse umgestellt werden.

Aufgaben / Übungen Winkelfunktionen

Aufgabe 1: Viele Schüler und Schülerinnen scheitern nicht am Rechnen mit ein paar Zahlen sondern finden nicht die richtigen Angaben für die Formeln. Daher starten wir hier erst einmal mit ein paar einfachen Fragen (wer dies nicht mag kann auf überspringen klicken). Zur ersten Frage: Die grüne Seite nennt man ....

Winkelfunktionen Aufgabe 1

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Video Winkelfunktionen

Formeln und Beispiele

Im nächsten Video werden die Winkelfunktionen behandelt. Diese Themen stehen auf dem Plan:

  • Ein rechtwinkliges Dreieck
  • Sinus (sin) berechnen
  • Kosinus (cos) berechnen
  • Tangens (tan) berechnen
  • Überblick zu den Winkelfunktionen

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Winkelfunktionen

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu den Winkelfunktionen an.


F: Welche typischen Fehler werden bei der Winkelberechnung oft gemacht?

A: Typische Fehler sind:

  • Ankathete und Gegenkathete werden vertauscht.
  • Beim Berechnen der Winkel wird der Taschenrechner nicht auf DEG gestellt.
  • Meter und Zentimeter werden vermischt.

F: Was sehe ich mir nun an?

A: Werft als nächstes einen Blick auf den Satz des Pythagoras, den Höhensatz und den Kathetensatz.

F: Welche Themen gibt es noch in der Geometrie?

A: Werft noch einen Blick auf diese Gebiete:


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