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Hypotenuse berechnen mit Formel

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 25. November 2018 um 14:21 Uhr

Verschiedene Möglichkeiten die Hypotenuse zu berechnen werden hier behandelt. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, wie man mit Satz des Pythagoras, Sinus und Kosinus die Hypotenuse berechnet.
  • Beispiele zum Berechnen der Hypotenuse in einem Dreieck.
  • Übungen damit ihr dies alles selbst üben könnt.
  • Videos zur Berechnung der Hypotenuse.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier verschieden Möglichkeiten an eine Hypotenuse zu berechnen. Wem dies nicht reicht kann gerne noch unter Satz des Pythgaoras und Winkelfunktionen: Sinus, Kosinus und Tangens nachsehen.

Hypotenuse ausrechnen mit Katheten

Die erste Möglichkeit die Hypotenuse zu berechnen ist der Satz des Pythagoras. Die nächste Grafik zeigt ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man als Hypotenuse. Diese ist hier in grün eingezeichnet:

Hypotenuse berechnen Beispiel 1 Aufgabe

Die beiden anderen Seiten nennt man Katheten. Kennt man die Längen der beiden Katheten kann man damit die Hypotenuse berechnen. Die Formel dazu wird meistens mit der Gleichung a2 + b2 = c2 beschrieben. In Worten: Beide Katheten werden quadriert und addiert. Und dies ist genauso groß was Quadrat der Hypotenuse. Noch nicht verstanden? Sehen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1: Hypotenuse durch Pythagoras

Die Länge der roten Kathete sei 3 cm. Die blaue Kathete ist 4 cm lang. Wie lange ist die Hypotenuse?

Lösung:

Wir setzen in a2 + b2 = c2 die beiden Katheten ein. Dabei müssen wir sowohl die Zahl als auch die Einheit quadrieren. Dabei fassen wir zusammen zu 25 cm2 und ziehen im Anschluss aus der 25 und cm2 die Wurzel.

Hypotenuse berechnen Beispiel 1 Lösung

Wir ergänzen die Hypotenuse mit 5 cm in unserer Grafik.

Hypotenuse berechnen Beispiel 1 Lösung Teil 2

Hypotenuse berechnen mit Winkel

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch die Berechnung der Hypotenuse mit Winkel an. Zwei Fragen stellt man sich dabei: Wie heißen die Seiten des Dreiecks? Welche Seite ist die Hypotenuse?

Beispiel 2: Winkel berechnen mit Sinus und Kosinus

Zum einfacheren Verständnis nehmen wir wieder ein rechtwinkliges Dreieck wie in der nächsten Grafik zu sehen:

Hypotenuse berechnen Beispiel 2 Aufgabe

Wo liegen die Ankathete, Gegenkathete und die Hypotenuse im Bezug auf den Winkel von 53,13 Grad? Wie lange ist die Hypotenuse?

Lösung:

Zunächst sollten wir klären wie die Seiten heißen, denn genau dies benötigen wir für die Formeln.

  • Die längste Seite wird als Hypotenuse bezeichnet. Diese ist hier in grün eingezeichnet.
  • Die Kathete am Winkel nennt man Ankathete. Die rote Seite liegt am Winkel.
  • Die Kathete gegenüber des Winkels nennt man Gegenkathete. Gegenüber des Winkels liegt die blaue Seite.

Fehlt uns noch die Länge der Hypotenuse. Diese können wir auf zwei verschiedene Art und Weisen berechnen. Die eine Möglichkeit nennt sich Sinus und die andere Möglichkeit Kosinus. Starten wir mit dem Sinus.

Sinus zur Berechnung der Hypotenuse:

Eine Gleichung in der Trigonometrie besagt, dass der Sinus des Winkels Alpha so groß ist wie die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse. Diese Gleichung stellen wir um nach der Hypotenuse um. Danach setzen wir die 4 cm für die Gegenkathete ein und für Alpha 53,13 Grad. Wir berechnen den Sinus mit dem Taschenrechner (auf DEG) stellen. Damit erhalten wir die Hypotenuse mit einer Länge von 5 cm.

Hypotenuse berechnen Beispiel 2 Sinus

Kosinus zur Berechnung der Hypotenuse:

Eine weitere Möglichkeit ist der Kosinus. Der Kosinus des Winkels Alpha ist die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse. Wir stellen die Gleichung nach der Hypotenuse um. Im Anschluss setzen wir die Ankathete mit 3 cm ein und den Winkel mit 53,13 Grad. Den Kosinus von 53,13 berechnen wir mit dem Taschenrechner (auf DEG stellen) zu 0,6. Die Hypotenuse lässt sich im Anschluss erneut zu 5 cm Länge berechnen.

Hypotenuse berechnen Beispiel 2 Lösung Kosinus

Aufgaben / Übungen Winkel und Längen berechnen

Aufgabe 1: Viele Schüler und Schülerinnen scheitern nicht am Rechnen mit ein paar Zahlen sondern finden nicht die richtigen Angaben für die Formeln. Daher starten wir hier erst einmal mit ein paar einfachen Fragen (wer dies nicht mag kann auf überspringen klicken). Zur ersten Frage: Die grüne Seite nennt man ....

Winkelfunktionen Aufgabe 1

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Video Satz des Pythagoras

Beispiele und Erklärung

Im nächsten Video geht es darum, wie man mit dem Satz des Pythagoras an einem rechtwinkligen Dreieck rechnen kann. Wir sehen uns einen Mix an Beispielen mit Zahlen und Einheiten an, um eine fehlende Seite zu berechnen. Es geht jedoch auch um die Hintergründe des Satzes von Pythagoras und wie man auf diesen kommt bzw. warum er überhaupt funktioniert. Bei den Beispielen werden die Längen zweier Seiten vorgegeben und die Dritte Seite berechnet. Quelle: Youtube.com


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Fragen mit Antworten zur Berechnung der Hypotenuse

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zur Berechnung der Hypotenuse an.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Der Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen werden in der Regel in der 8. Klasse, in der 9. Klasse und manchmal auch noch in der 10. Klasse behandelt. Es sollte jedem klar sein, dass insbesondere der Satz des Pythagoras auch durchaus im Alltag einmal vorkommen kann. Die Winkelfunktionen werden im echten Leben etwas seltener gebraucht, jedoch insbesondere in Naturwissenschaften und im Ingenieursbereich werden diese dennoch eingesetzt.

F: Welche Themen gibt es noch in der Geometrie?

A: Werft noch einen Blick auf diese Gebiete, welche in der Mittelstufe auf dem Plan stehen:


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