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Erwartungswert berechnen: Definition und Würfel Beispiel

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 02. Dezember 2018 um 15:25 Uhr

Was der Erwartungswert ist und wie man diesen berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was der Erwartungswert ist.
  • Beispiele um den Erwartungswert zu berechnen.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Ein Video zum Erwartungswert.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns gleich den Erwartungswert an. Dazu ist es hilfreich, wenn ihr wisst, was ein Zufallsexperiment ist. Wer dies nicht weiß kann gerne hier rein sehen: Zufallsexperiment / Zufallsversuch.

Erwartungswert Erklärung und Definition

Der Erwartungswert ist ein Begriff, der einem bei der Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitsberechnung begegnet. Wie der Name schon sagt, geht es darum was bei einem Experiment erwartet wird. Oftmals hat man ein gewisses "Bauchgefühl" was bei einem Versuch als Ergebnis rauskommen müsste.

Jedoch geht es in der Mathematik nicht um Bauchgefühl. Es geht darum Dinge zu berechnen um nicht einem "falschen Bauchgefühl" zu erliegen. Eine meist recht einfache Methode besteht darin den Erwartungswert zu berechnen. Was man darunter versteht? Eine Definition zum Erwartungswert:

Hinweis:

Mit dem Erwartungswert berechnet man, welcher Wert eine Zufallsvariable bei einer großen Anzahl an Versuchen annehmen sollte.

Wichtig: Der Erwartungswert muss kein mögliches Ergebnis sein. Dies sehen wir im nächsten Beispiel mit dem Würfel.

Viele Schüler und Schülerinnen können mit der Formel zum Erwartungswert nicht viel anfangen. Der Vollständigkeit halber soll sie hier dennoch angegeben werden. Wir sehen uns jedoch im Anschluss Beispiele zum besseren Verständnis an.

Erwartungswert Formel

Was besagt diese Formel? Das X ist eine endliche Zufallsgröße, welche dem jeweiligen Werte x annehmen kann bei der jeweiligen Wahrscheinlichkeit p.

Erwartungswert Beispiel Würfel

Sehen wir uns Beispiele zum Erwartungswert an.

Beispiel 1: Erwartungswert Würfel

Wir haben einen ganz normalen Würfel mit sechs Seiten. Die Augenzahlen die gewürfelt werden können sind damit 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Der Würfel ist nicht manipuliert worden. Berechne den Erwartungswert.

Erwartungswert Beispiel 1 Würfel

Lösung:

Es gibt sechs Möglichkeiten wie das Ergebnis von einem Würfelwurf ausgehen kann und alle sind gleichwahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu würfeln beträgt 1:6 und dies gilt für alle Zahlen von 1 bis 6. Damit erhalten wir den Erwartungswert von 3,5.

Erwartungswert Beispiel 1 Rechnung

Beispiel 2: Erwartungswert vierseitiger Würfel

Nicht jeder Würfel hat 6 Seiten. Es gibt auch Würfel mit nur vier Seiten. Einen solchen Würfel sehen wir uns als nächstes an. Jeder der vier Seiten ist von der Wahrscheinlichkeit gleich hoch. Allerdings haben zwei Seiten eine 3 wohingegen 1 und 2 nur Einmal vorkommen. Wie groß ist der Erwartungswert für diesen Würfel?

Erwartungswert Beispiel 2 Würfel vierseitig

Lösung:

Wir machen uns zunächst eine kleine Tabelle zur besseren Übersicht.

Erwartungswert Beispiel 2 Tabelle

Die Augenzahlen werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit multipliziert und aufaddiert. Wir erhalten einen Erwartungswert von 2,25.

Erwartungswert Beispiel 2 Rechnung

Aufgaben / Übungen Erwartungswert

Aufgabe 1:

Fangen wir kurz mit einer kleinen Frage an bevor wir direkt am Erwartungswert rechnen.

  • Wir haben einen normalen Würfel mit 6 Seiten, der nicht manipuliert wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine 3 zu würfeln?
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Video Erwartungswert

Beispiele und Berechnung

Der Erwartungswert ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. Stochastik. Dabei wird ein Glücksrad als Beispiel vorgestellt. Geklärt werden soll, ob es sich lohnt, dieses Spiel zu machen? Wie man den Erwartungswert aufschreibt und wie man ihn berechnet, wird Stück für Stück erläutert. Als zweite Aufgabe wird ein Reisnagelwurf vorgestellt: Es geht darum herauszufinden, wie der Erwartungswert für eine entsprechende Landung bzw. Liegen lautet. Auch auf Begriffe wie die Binomialverteilung wird eingegangen. Dieses Video habe ich auf Youtube.com gefunden.


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Fragen mit Antworten Erwartungswert

In diesem Abschnitt geht es um typische Fragen mit Antworten zum Erwartungswert.

F: Wo finde ich mehr rund um dieses Thema?

A: Der Erwartungswert ist nur ein Thema aus den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dieses und weitere Themen findet ihr hier:

Zusätzlich könnt ihr gerne noch einen Blick in die Übersicht Mathematik 9. Klasse werfen.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Der Begriff des Erwartungswertes wird meistens ab der 8. Klasse oder 9. Klasse in der Schule behandelt. Das Thema begleitet viele Schüler und Schülerinnen jedoch auch bis in die 12. Klasse bzw. 13. Klasse.


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