Logarithmengesetze / Logarithmus Regeln

Die Logarithmengesetze - also die Regeln des Logarithmus - behandeln wir hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, welche Logarithmusgesetze es gibt.
• Beispiele um die Regeln des Logarithmus anzuwenden.
• Aufgaben / Übungen um das Thema zu üben.
• Ein Video zu den Logarithmengesetzen.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wie sehen uns hier die Regeln zum Logarithmus an. Dazu solltet ihr jedoch wissen was ein Logarithmus überhaupt ist. Noch keine Ahnung davon? In diesem Fall werft zuerst einen Blick in die Logarithmus Grundlagen.

Logarithmusgesetze: Multiplikation und Division

Bei den Logarithmengesetzen gibt es ein Gesetz für die Multiplikation und eines für die Division (Bruch) von Logarithmen. Mit diesen beiden starten wir hier. Dabei wird zunächst das Logarithmengesetz gezeigt und im Anschluss gibt es ein Beispiel zum besseren Verständnis.

Logarithmusregel für Multiplikation / Produkt:

Das erste Logarithmengesetz bezieht sich auf die Multiplikation bzw. auf das Produkt beim Logarithmieren. Daraus werden zwei Logarithmen mit gleicher Basis. Die allgemeine Regel sieht zunächst einmal so aus:

Wichtig: Die Gleichung funktioniert in beide Richtungen. Ist die Basis bei zwei Logarithmen gleich kann daraus wieder ein Produkt gemacht werden.

Logarithmusregel für Multiplikation Beispiel:

Sehen wir uns ein Beispiel zu diesem Logarithmengesetz an. Wir haben dabei die Basis 2 und in der Klammer 4 und 8 mit einem Malzeichen dazwischen. Daraus werden zwei Logarithmen mit der Basis 2.

Wichtig: Auf der linken Seite wird aus log₂(32) = 5, denn 2⁵ = 32. Auf der rechten Seite log₂4 = 2, denn 2² = 4. Außerdem ist log₂8 = 3, denn 2³ = 8.

Logarithmenregel für Division / Bruch:

Die zweite Logarithmenregel bezieht sich auf die Division bzw. den Bruch. Dabei wird aus dem Logarithmus eines Bruchs zwei Logarithmen mit gleicher Basis und einem Minuszeichen dazwischen.

Logarithmengesetz für Division / Bruch Beispiel:

Sehen wir uns auch zu dieser Logarithmusregel ein Beispiel an. Dabei ist die Basis a = 3. Der Zähler u = 81 und der Nenner v = 3. Dies setzen wir ein.

Wichtig: Auf der linken Seite erhalten wir log₃(27) = 3, denn 3³ = 27. Auf der rechten Seite erhalten wir log₃81 = 4, denn 3⁴ = 81. Außerdem log₃3 = 1, denn 3¹ = 3.

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Logarithmenregel Potenz und Wurzel

In diesem Abschnitt sehen wir uns die Logarithmusregeln für Potenzen und Wurzeln an.

Logarithmenregel für Potenzen:

Bei der dritten Regel zum Logarithmus haben wir die Potenz u^v in der Klammer. Der Logarithmus hat die Basis a. Das v wandert dabei vor den Logarithmus mit einem Malzeichen dazwischen. Wir erhalten dahinter den Logarithmus von u zur Basis a.

Logarithmenregel für Potenzen Beispiel:

Als Beispiel setzen wir a = 5, u = 25 und v = 4. Auf der linken Seite erhalten wir 25⁴ = 390625. Auf der rechten Seite log₅25 = 2, denn 5² = 25. Auf der linken Seite 5⁸ = 390625.

Logarithmenregel für Wurzeln:

Die vierte Logarithmenregel bezieht sich auf Wurzeln. Dabei haben wir die n-te Wurzel aus u. Der Logarithmus ist zur Basis a. Daraus wird 1 : n und der Logarithmus aus u zur Basis a.

Logarithmengesetz für Wurzel Beispiel:

Als Beispiel nehmen wir a = 3 und die Quadratwurzel aus 81. Die linke Seite ergibt log₃9 = 2, denn 3² = 9. auf der rechten Seite log₃81 = 4, denn 3⁴ = 81.

Aufgaben / Übungen Logarithmusregeln

Aufgabe 1:

Wende das passende Logarithmusgesetz an und berechne die Lösung.

• log₂(4 · 8)

• 5
• 4
• 3
• 6

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Video Logarithmengesetze

Fragen mit Antworten Logarithmusregeln