Logarithmus Grundlagen und Beispiele

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 08. April 2019 um 15:27 Uhr

Die Grundlagen zum Logarithmus behandeln wir hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wofür man den Logarithmus braucht.
  • Beispiele für das Rechnen mit einfachen logarithmen.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema zu üben.
  • Ein Video zum Logarithmus.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns gleich den Logarithmus an. Hilfreich ist, wenn ihr bereits einfache Gleichungen lösen könnt. Wer davon noch keine Ahnung hat, klickt auf den Link von eben. Ansonsten ran an den Logarithmus.

Logarithmus Einführung

In der Mathematik habt ihr bereits das Lösen von einfachen Gleichungen kennen gelernt. Dabei soll x oder eine andere Variable berechnet werden. Zum Beispiel:

Logarithmus im Vergleich zu linearer Funktion

Solche einfachen Gleichungen lassen sich mit den Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) lösen. Aber was passiert wenn das x im Exponenten steht? Wie würdet ihr dieses Beispiel lösen?

Logarithmus Beispiele Einleitung

Um x zu berechnen, kann man entweder verschiedene Zahlen für x einfach einsetzen und ausprobieren oder man benötigt den Logarithmus. Wir halten fest:

Hinweis:

Der Logarithmus hilft dabei Variablen zu berechnen, welche im Exponenten vorkommen.

Zurück zum Beispiel. Die Aufgabenstellung lautete 2x = 8 und x soll berechnet werden. Wir können verschiedene Zahlen ausprobieren für x, zum Beispiel x = 1, x = 2 und x = 3. Mit x = 3 finden wir auch die Lösung, denn 23 = 8.

Logarithmus Beispiel Einleitung

Die Aufgabe kann jedoch auch mit dem Logarithmus geschrieben werden. Die Gleichung 2x = 8 wird mit dem Logarithmus nach x aufgelöst, so wie man dies auch bei anderen Gleichungen macht. Das Beispiel rechnet sich damit wie folgt.

Logarithmus Beispiel Einleitung 3

Wie spricht man dies aus? Hier ist "x der Logarithmus aus 8 zur Basis 2". Bevor wir uns weitere Beispiele ansehen gibt es erst einmal einige wichtige Begriffe. Die nächste Grafik zeigt wie aus Basis, Exponent und Potenzwert durch Logarithmieren der Logarithmuswert, die Basis und der Numerus wird.

Logarithmus Begriffe

Wichtig: In der Schule werden nur ganz einfache Aufgaben mit dem Verständnis zu Potenzen gelöst (Siehe nächster Abschnitt). Anspruchsvollere Logarithmen werden mit dem Taschenrechner gelöst. Dies ist per Hand sehr schwierig (Siehe Erklärung am Artikelende).

Logarithmus einfache Beispiele

In diesem Beispiel sehen wir uns eine Reihe an weiteren Beispielen zum Logarithmieren an. Diese sollen auch zeigen, dass man ganz einfache Aufgaben zum Logarithmus mit ein bisschen Verständnis zu Potenzen lösen kann.

Beispiel 1: Logarithmus Basis 2

Wie groß ist x in der nächsten Aufgabe?

Logarithmus Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Wir lösen mit dem Logarithmus nach x auf. Dabei haben wir den Logarithmus von 16 zur Basis 2. Dies können wir mit dem Taschenrechner rechnen oder für x Zahlen einsetzen. Setzen wir für x = 4 ein erhalten wir 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16.

Logarithmus Beispiel 2 Lösung

Beispiel 2: Logarithmus Basis 4

Wie groß ist x in der nächsten Aufgabe?

Logarithmus Beispiel 3 Aufgabe

Lösung:

Durch das Logarithmieren lösen wir die Aufgabe nach x auf. Mit Taschenrechner (und der Logarithmus-Taste) oder durch ausprobieren erhalten wir x = 3. Wir erhalten damit 43 = 4 · 4 · 4 = 64.

Logarithmus Beispiel 3 Lösung

Beispiel 3: Logarithmus Basis 10

Wie groß ist a in der nächsten Gleichung?

Logarithmus Beispiel 4 Aufgabe

Lösung:

In diesem Beispiel erhalten wir den Logarithmus von 100 zur Basis 2. Wir erhalten dadurch x = 2. Kontrolle: 102 = 10 · 10 = 100.

Logarithmus Beispiel 4 Lösung

Soweit eine kurze Einführung in das Thema Logarithmus. Um dieses Thema jedoch weiter zu lernen, solltet ihr euch noch weitere Inhalte zum Logarithmus ansehen. Typische Fragen zum Logarithmus werden weiter unten noch behandelt.

Logarithmus Themen:

Aufgaben / Übungen Logarithmus

Aufgabe 1:

Wie lautet die Lösung dieser Aufgabe? Wie groß ist x?

Logarithmus Beispiel 1 Aufgabe

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Logarithmus Video

Erklärung und Beispiele

Im nächsten Video erhaltet ihr dies:

  • Was ist der Logarithmus?
  • Wozu benötigt man das Logarithmieren?
  • Spezielle Logarithmen werden gezeigt.
  • Einfache Beispiele zum Logarithmus.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zum Logarithmus

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Logarithmus an.


F: Kann man den Logarithmus per Hand oder im Kopf berechnen?

A: Logarithmen wurden schon berechnet bevor es Taschenrechner gab. Außerdem sollte jedem klar sein, dass der Taschenrechner den Logarithmus auch irgendwie berechnen muss. Leider ist die Berechnung vom Logarithmus per Hand oder im Kopf schwierig, wenn es sich nicht um so einfache Aufgaben wie weiter oben handelt. Es gibt Möglichkeiten über Potenzreihen, additive Zerlegung oder dem Grenzwert nach Hurwitz. Diese Berechnungen übersteigen jedoch die Schulmathematik und werden daher hier nicht behandelt.

F: Welche Arten von Logarithmus gibt es?

A: Diese drei Logarithmenarten werden oft behandelt:

  • Basis 2: Der Logarithmus zur Basis 2 wird binärer Logarithmus genannt. Die Abkürzung bei der Berechnung ist meistens lb oder ld.
  • Basis 10: Der Logarithmus zur Basis 10 wird dekadischer Logarithmus genannt. Die Abkürzung lautet lg.
  • Basis e: Der Logarithmus zur Basis e wird natürlicher Logarithmus genannt. Die Abkürzung lautet ln.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A:Der Logarithmus wird frühstens in der 9. Klasse behandelt. Im Normalfall wird das Logarithmieren jedoch erst in der 10.Klasse behandelt. Es dient auch als Grundlagen um Exponentialgleichungen zu berechnen.


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