Exponentialgleichungen lösen

Wie man eine Exponentialgleichung löst, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, was eine Exponentialgleichung ist.
• Beispiele zum Lösen von solchen Gleichungen mit Regeln.
• Aufgaben / Übungen um das Gebiet selbst zu üben.
• Ein Video zu Exponentialgleichungen.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Es gibt verschieden komplizierte Exponentialgleichungen. Um diese zu lösen sind verschiedene Vorkenntnisse nötig. Zu empfehlen ist aber auf jeden Fall, dass ihr Potenzen und Logarithmus kennt.

Exponentialgleichungen Erklärung

Klären wir zunächst die Definition einer Exponentialgleichung:

Im einfachsten Fall kann ein Vergleich der Exponenten die Lösung einer Exponentialgleichung liefern. Dazu müssen auf beiden Seiten Potenzen mit gleicher Basis erzeugt werden um im Anschluss auf den Exponenten zu schließen.

Beispiel 1: Exponentenvergleich

Die Gleichung 2^x = 2³ soll gelöst werden. Da auf beiden Seiten der Gleichung eine 2 in der Basis vorkommt, müssen wir einfach nur die Exponenten vergleichen. Da wir auf der rechten Seite der Gleichung eine 3 im Exponenten haben, brauchen wir dies auch für x auf der linken Seite.

Beispiel 2: Exponentenvergleich

Im zweiten Beispiel müssen wir die rechte Seite der Exponentialgleichung umformen um eine Potenz zu erzeugen. Daher machen wir aus 81 die Potenz 3⁴. Wir erhalten dadurch x = 4.

Beispiel 3: Einfacher Logarithmus

Eine weitere Möglichkeit zum Lösen von Exponentialgleichungen ist der Logarithmus. In diesem Fall ist es ein recht einfacher Logarithmus, welcher angewendet werden muss. Wir haben die Gleichung 2^x = 16 und möchten nach x auflösen. Dafür brauchen wir den Logarithmus zur Basis 2, denn die Basis der Potenz 2^x ist 2. Der Logarithmus von 16 zur Basis 2 ist 4, denn 2⁴ = 16.

Weitere Beispiele dazu findet ihr unter Logarithmus Grundlagen.

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Lösen von Exponentialgleichungen

Eine etwas umfangreichere Exponentialgleichung soll hier gelöst werden.

Beispiel 4: Gleichung lösen

Wir haben die folgende Gleichung. Wie groß ist x?

Lösung:

Zunächst kümmern wir uns um die einfachen Zahlen. Durch die Addition von 28 wird auf der linken Seite aus 3044 eine 3072. Im Anschluss holen wir 3 · 2^x auf die andere Seite. Dadurch haben wir die einzelnen Zahlen vom Rest getrennt. Wir klammern 15 - 3 aus und berechnen dies zu 12. Wir teilen durch diese 12 und erhalten 256 = 2^x. Mit x = 8 können wir die Exponentialgleichung lösen, denn 2⁸ = 256.

Aufgaben / Übungen Exponentialgleichungen

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen erst einmal eine Frage:

• Welche Eigenschaften hat eine Exponentialgleichung?

• Variable in der Basis
• Variable im Exponenten
• Eine Ungleichung
• Logarithmus von 2

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Video Exponentialgleichungen

Fragen mit Antworten Exponentialgleichungen