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Einsetzungsverfahren: Lineare Gleichungssysteme

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 22. Juli 2018 um 18:41 Uhr

Wie man lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren löst, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung wie man durch Einsetzen lineare Gleichungssysteme löst.
  • Beispiele mit Gleichungssystemen zum besseren Verständnis.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Ein Video zu linearen Gleichungssystemen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es gibt verschiedene Möglichkeiten lineare Gleichungssysteme zu lösen. Wir sehen uns hier das Einsetzungsverfahren an. Weitere Verfahren findet ihr im Hauptartikel lineare Gleichungssysteme lösen.

Erklärung Gleichungssysteme Einsetzungsverfahren

In der Mathematik kommt es vor, dass man mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten (Variablen) hat. Diese sollen im Anschluss gemeinsam gelöst werden. Ziel ist es, für jede Unbekannte eine Zahl zu finden, die alle Gleichungen korrekt löst.

Die Idee beim Einsetzungsverfahren ist, dass man eine der Gleichungen nach einer Variablen auflöst und diesen Ausdruck in die nächste Gleichung einsetzt. Das Einsetzungsverfahren eignet sich oft bei linearen Gleichungssystemen mit 2 oder 3 Gleichungen bzw. 2 oder 3 Variablen.

Beispiel 1: Einsetzungsverfahren mit 2 Variablen

Starten wir mit einem einfachen Beispiel zum Einsetzungsverfahren. Wir haben dabei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (x,y). Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.

Einsetzungsverfahren: lineare Gleichungssysteme Beispiel 1

Lösung:

Die erste Gleichung ist bereits nach x aufgelöst. Dies nutzen wir aus, denn wir wissen, dass x so groß ist wie y - 1. Dieses y - 1 setzen wir für x in die zweite Gleichung ein. Danach lösen wir nach y auf und erhalten y = 16.

Einsetzungsverfahren Beispiel 1b

Mit y = 16 gehen wir noch in die erste Gleichung rein und berechnen noch x = 15.

Einsetzungsverfahren Beispiel 1c

Mit x = 15 und y = 16 können wir beide Gleichungen korrekt lösen.

Beispiele Einsetzungsverfahren

In diesem Abschnitt sehen wir uns ein weiteres Beispiele zum Einsetzungsverfahren bei Gleichungssystemen an. Dabei sehen wir uns das Einsetzungsverfahren mit Brüchen an.

Beispiel 2: Einsetzungsverfahren mit Brüchen

Wie groß sind x und y beim nächsten Gleichungssystem mit Brüchen?

Einsetzungsverfahren Beispiel 2

Lösung:

Wir nehmen die erste Gleichung und lösen diese nach x auf (rot markiert). In die zweite Gleichung setzen wir im Anschluss für x genau dies ein. Wir lösen nach y auf und erhalten y = 8.

Einsetzungsverfahren Beispiel 2b

Mit y = 8 gehen wir in die nach x aufgelöste Gleichung und berechnen damit x.

Einsetzungsverfahren Beispiel 2c

Wir erhalten damit noch x = 0 als Lösung.

Aufgaben / Übungen Einsetzungsverfahren

Aufgabe 1: Wie groß sind x und y im nächsten Gleichungssystem?

Gleichsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme Einleitung

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Video Gleichungssysteme

Beispiele und Erklärungen

Im nächsten Video sehen wir uns das Rechnen mit Gleichungssystemen an.

  • Zunächst wird gezeigt, was ein Gleichungssystem überhaupt ist.
  • Danach geht es darum, wie man so ein Gleichungssystem löst.
  • Dazu werden Beispiele mit zwei Variablen bzw. drei Variablen vorgerechnet.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Einsetzungsverfahren

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Einsetzungsverfahren an.

F: Kann man das Einsetzungsverfahren auch mit 3 Variablen verwenden?

A: Natürlich kann man das Einsetzungsverfahren auch bei (linearen) Gleichungssystemen mit 3 Variablen oder mehr verwenden. Aber dies wird in der Regel sehr aufwendig und verleitet zu Fehlern beim Rechnen. Dazu sind andere Verfahren besser, welche unter lineare Gleichungssysteme lösen vorgestellt werden.

F: Welche Themen sollte ich mir noch ansehen?

A: Werft doch noch auf diese Themen rund um Gleichungen einen Blick:


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