Einsetzungsverfahren: Lineare Gleichungssysteme

Wie man lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren löst, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung wie man durch Einsetzen lineare Gleichungssysteme löst.
• Beispiele mit Gleichungssystemen zum besseren Verständnis.
• Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
• Ein Video zu linearen Gleichungssystemen.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es gibt verschiedene Möglichkeiten lineare Gleichungssysteme zu lösen. Wir sehen uns hier das Einsetzungsverfahren an. Weitere Verfahren findet ihr im Hauptartikel lineare Gleichungssysteme lösen.

Erklärung Gleichungssysteme Einsetzungsverfahren

In der Mathematik kommt es vor, dass man mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten (Variablen) hat. Diese sollen im Anschluss gemeinsam gelöst werden. Ziel ist es, für jede Unbekannte eine Zahl zu finden, die alle Gleichungen korrekt löst.

Die Idee beim Einsetzungsverfahren ist, dass man eine der Gleichungen nach einer Variablen auflöst und diesen Ausdruck in die nächste Gleichung einsetzt. Das Einsetzungsverfahren eignet sich oft bei linearen Gleichungssystemen mit 2 oder 3 Gleichungen bzw. 2 oder 3 Variablen.

Beispiel 1: Einsetzungsverfahren mit 2 Variablen

Starten wir mit einem einfachen Beispiel zum Einsetzungsverfahren. Wir haben dabei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (x,y). Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.

Lösung:

Die erste Gleichung ist bereits nach x aufgelöst. Dies nutzen wir aus, denn wir wissen, dass x so groß ist wie y - 1. Dieses y - 1 setzen wir für x in die zweite Gleichung ein. Danach lösen wir nach y auf und erhalten y = 16.

Mit y = 16 gehen wir noch in die erste Gleichung rein und berechnen noch x = 15.

Mit x = 15 und y = 16 können wir beide Gleichungen korrekt lösen.

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Beispiele Einsetzungsverfahren

In diesem Abschnitt sehen wir uns ein weiteres Beispiele zum Einsetzungsverfahren bei Gleichungssystemen an. Dabei sehen wir uns das Einsetzungsverfahren mit Brüchen an.

Beispiel 2: Einsetzungsverfahren mit Brüchen

Wie groß sind x und y beim nächsten Gleichungssystem mit Brüchen?

Lösung:

Wir nehmen die erste Gleichung und lösen diese nach x auf (rot markiert). In die zweite Gleichung setzen wir im Anschluss für x genau dies ein. Wir lösen nach y auf und erhalten y = 8.

Mit y = 8 gehen wir in die nach x aufgelöste Gleichung und berechnen damit x.

Wir erhalten damit noch x = 0 als Lösung.

Aufgaben / Übungen Einsetzungsverfahren

Aufgabe 1: Wie groß sind x und y im nächsten Gleichungssystem?

• x = 2 und y = 4
• x = 1 und y = 5
• x = 3 und y = 3
• x = 4 und y = 2

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Video Gleichungssysteme

Fragen mit Antworten Einsetzungsverfahren