Bestimmtes Integral berechnen / lösen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 04. März 2020 um 17:20 Uhr

Was ein bestimmtes Integral ist und wie man es löst, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was ein bestimmtes Integral ist.
  • Beispiele für das Lösen bestimmter Integrale.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Flächenberechnung mit Integralen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Ihr solltet bereits wissen was Integrieren überhaupt bedeutet. Wer davon noch keine Ahnung hat wirft bitte erst einmal einen Blick in die Grundlagen der Integration. Auf den Unterschied zwischen bestimmtes Integral und unbestimmtes Integral gehen wir hier noch ein.


Bestimmtes Integral Erklärung

In der Mathematik unterscheidet man zwischen dem unbestimmten Integral und dem bestimmten Integral.

Grundlage unbestimmtes Integral:

Das nächste Beispiel zeigt ein unbestimmtes Integral. So ein Integral hat keine Integrationsgrenzen (es stehen keine Zahlen über oder unter dem Integral). Die Lösung erhält man durch Einsatz der Integrationsregeln (wir rechnen so etwas weiter unten vor). Wir erhalten mit F(x) eine Stammfunktion als Lösung der Aufgabe.

Unbestimmtes Integral Beispiel

Das Wissen zum unbestimmten Integral hilft auch beim bestimmten Integral.

Bestimmtes Integral:

Der erste Unterschied liegt darin, dass es bei einem bestimmten Integral so genannte Integrationsgrenzen gibt. Man bezeichnet diese als untere Grenze und als obere Grenze. Im nächsten Beispiel sind dies 0 und 2.

Bestimmtes Integral Beispiel 1 Aufgabe

Was bedeutet dies? Dazu zeichnen wir uns die Funktion y = 2x einmal in ein Koordinatensystem ein.

Bestimmtes Integral Koordinatensystem y = 2x

Das bestimmte Integral bedeutet, dass man hier eine Fläche berechnen soll. In diesem Fall soll die Fläche unter der Funktion 2x berechnet werden zwischen x = 0 und x = 2 (den Integrationsgrenzen).

Bestimmtes Integral y=2x Fläche

Wie man das bestimmte Integral berechnet sehen wir uns im nächsten Abschnitt an.

Hinweis:

Ein bestimmtes Integral weist Integrationsgrenzen auf. Die Lösung des bestimmten Integrals ist die Größe der Fläche unter / über dieser Funktion zur horizontalen Achse (x) innerhalb der Integrationsgrenzen.




Bestimmtes Integral berechnen

Wie kann man ein bestimmtes Integral berechnen? Welche Regeln muss man bei einem bestimmten Integral beachten?

Beispiel 1: Integral berechnen

Wie groß ist die Fläche unter der Funktion y = 2x zwischen x = 0 und x = 2?

Lösung:

Wir wandeln die Aufgabenstellung in eine Aufgabe um. Integriert werden muss nach der Variablen x (daher das dx). Die Integrationsgrenzen sind x = 0 und x = 2, welche wir an das Zeichen für die Integration schreiben.

Bestimmtes Integral Beispiel 1 Aufgabe

Um das bestimmte Integral zu lösen, müssen wir die Integrationsregeln der Integralrechnung einsetzen. Es gibt hier mehrere Regeln und alle hier zu erklären würde den Artikel extrem in die Länge ziehen. Daher hier eine Übersicht der Regeln.

Für unser Beispiel brauchen wir die Potenzregel. Diese wenden wir erst einmal an. Integrieren wir 2x erhalten wir x2. Im Gegensatz zum unbestimmten Integral fällt die Konstante + C weg. Die x2 schreiben wir diesmal in eckige Klammern und dahinter die Grenzen.

Bestimmtes Integral Beispiel 1 Lösung Stammfunktion

Im Anschluss müssen wir die Grenzen einsetzen. Zunächst setzen wir mit x = 2 die obere Grenze ein. Aus x2 wird dadurch 22. Im Anschluss setzen wir die untere Grenze mit x = 0 ein. Aus x2 wird 02. Dazwischen setzen wir ein Minuszeichen. Im Prinzip obere Grenze einsetzen minus untere Grenze einsetzen.

Bestimmtes Integral Beispiel 1 Lösung Teil 2

Rechnen wir 22 - 02 aus erhalten wir eine 4 als Ergebnis. Dies ist die Fläche, daher schreibt man manchmal auch 4 FE. Das FE ist die Abkürzung für Flächeneinheiten.


Aufgaben / Übungen bestimmtes Integral

Aufgabe 1:

In diesem Bereich bieten wir euch die Möglichkeit Fragen und Aufgaben zum bestimmten Integral zu üben. Viele Schüler und Studenten scheitern jedoch schon an Begriffen und Wissen zum bestimmten Integral. Daher gibt es hier erst einmal kurz ein paar Fragen zum Thema und danach Aufgaben zum Rechnen. Wer etwas nicht mag kann auf überspringen klicken.

  • Woran erkennt man ein bestimmtes Integral (im Vergleich zum unbestimmten Integral)?
Aufgabe überspringen »


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Video Integration und Fläche

Beispiele und Erklärungen

In diesem Video sehen wir uns die Flächenberechnung durch Integration an. Dies sind die Themen:

  • Integration für Flächenberechnung mit Grenzen
  • Allgemeine Vorgehensweise
  • Beispiel 1
  • Beispiel 2

Ich empfehle die Beispiele selbst noch einmal nachzurechnen.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zum bestimmten Integral

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zum bestimmten Integral an.

F: Was muss ich beim bestimmten Integral beachten? Welche Regeln gibt es?

Diese Punkte sind wichtig:

  • Das bestimmte Integral verfügt über Integrationsgrenzen. Es gibt eine untere Grenze und eine obere Grenze.
  • Die Funktion wird mit den Integrationsregeln integriert. Dies gilt auch für die Substitution. Es gibt jedoch keine Konstante wie + C.
  • In die integrierte Funktion (Stammfunktion) wird die obere Grenze eingesetzt und es wird die untere Grenze eingesetzt. Dazwischen wird ein Minuszeichen geschrieben.
  • Es können negative Flächen laut Berechnung auftreten. Das Arbeiten mit Betragszeichen wird hier nötig. Wir behandeln dies in einem weiterführenden Artikel.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

Die Integralrechnung wird ab der Oberstufe behandelt, sprich ab der 11. Klasse. Sie kommt bis ins Abitur vor und ist auch Teil vieler Studiengänge.

F: Welche Themen der Integralrechnung sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

Ableitung und Integration findet ihr auch unter Analysis.

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