Partielle Integration / Produktintegration

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 16. November 2019 um 13:43 Uhr

Wie man die partielle Integration (Produktintegration) anwendet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wofür man die partielle Integration benutzt.
  • Beispiele für den Einsatz dieser Integrationsregel.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur partiellen Integration.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel. Es macht daher Sinn, wenn ihr diese bereits kennt. Es hilft außerdem wenn ihr die Potenzregel der Integration kennen.


Partielle Integration Formel und Erklärung

Es gibt verschiedene Regeln um Funktion zu integrieren. Eine Regel davon wird als partielle Integration oder auch als Produktintegration bezeichnet.

Hinweis:

Die partielle Integration der Integralrechnung ist eine Regel um einige etwas kompliziertere Funktionen zu integrieren. Die Funktion wird dabei in eine Multiplikation aus zwei Funktionen zerlegt. Die Integration erfolgt durch Einsatz der Formel zur partiellen Integration.

Zum Beispiel diese Funktionen können mit der partiellen Integration integriert werden:

Partielle Integration Beispiele

Das dx besagt, dass nach x integriert werden soll. Weiter unten sehen wir uns Beispiele zur Produktintegration an. Zunächst jedoch die allgemeine Formel.

Partielle Integration Formel:

Partielle Integration Formel

Tipps zur Produktintegration:

  • Das Produkt muss so in u(x) und v'(x) zerlegt werden, dass für v'(x) eine einfache Integration möglich ist. Gelingt dies nicht sollte u(x) und v'(x) vertauscht werden.
  • Das Integral u'(x) · v(x) dx muss elementar lösbar sein.

Sehen wir uns einige Beispiele zur Produktintegration an.




Partielle Integration Beispiele

In diesem Abschnitt sehen wir uns Beispiele zur partiellen Integration an.

Beispiel 1: Einfache partielle Integration

Wie lautet die Stammfunktion der folgenden Funktion?

Partielle Integration Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Wir müssen zunächst u und v' festlegen. Wir versuchen es dabei mit u = x und v' = cos x. Im nächsten Schritt leiten wir u = x ab und erhalten u' = 1. Wir integrieren v' = cos x und erhalten v = sin x.

Partielle Integration Beispiel 1 Lösung Teil 1

Um die Integration durchzuführen, nehmen wir die Formel der partiellen Integration. Diese wird in der vereinfachten Form hier angegeben. Im nächsten Schritt setzen wir u, u', v und v' ein. Hinter dem Integralzeichen können wir 1 · sin x zu sin x vereinfachen. Integriert man sin x wird daraus -cos x. Außerdem ergänzen wir die Konstante + C. Im letzten Schritt vereinfachen wir noch ein wenig.

Partielle Integration Beispiel 1 Lösung Teil 2

Beispiel 2: Doppelte partielle Integration bei E-Funktion mit Grenzen

In diesem Beispiel soll eine etwas kompliziertere Aufgabe behandelt werden. Bei dieser muss eine doppelte / mehrfache partielle Integration durchgeführt werden. Es ist eine E-Funktion zu beachten bei der Integration und die Funktion weist Grenzen auf. Dies ist die Aufgabe:

Partielle Integration / Produktintegration Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Wir legen zunächst u und v' fest. Durch Ableitung von u erhalten wir noch u', durch Integration von v' erhalten wir v. Im Anschluss nehmen wir die allgemeine Formel der partiellen Integration

Partielle Integration / Produktintegration Beispiel 2 Lösung erster Teil

In die allgemeine Formel der partiellen Integration setzen wir u, v, u' und v' ein. Die Grenzen 0 und 1 beim Integral lassen wir erst einmal weg, diese benötigen wir erst später.

Partielle Integration Beispiel 2 Lösung erster Teil einsetzen

Jetzt erkennt man, dass die partielle Integration doppelt anwendet werden muss. Hinter dem Integral haben wir kein Grundintegral / Stammintegral, welches wir direkt lösen könnten. Daher müssen wir die partielle Integration mehrfach anwenden. Um dies zu tun, bleibt der Ausdruck x2 · ex vor dem Integral erhalten. Auf den Rest dahinter wenden wir wieder die partielle Integration an. Dazu legen wir erneut u und v' fest und bilden u' und v. Dabei entsteht mit 2ex ein Integral, welches sich direkt lösen lässt.

Mehrfache / Doppelte partielle Integration Beispiel 2

Wir kennen nun die Stammfunktion F(x). Fehlt uns noch der Einsatz der Grenzen. Dazu setzen wir x = 1 in den Ausdruck ein und ziehen davon den Ausdruck ab wenn x = 0 eingesetzt wurde. Dies rechnen wir aus und erhalten etwa 0,72.

Partielle Integration / Produktintegration mehrfach / doppelt Lösung mit Grenzen


Aufgaben / Übungen Produktintegration

Aufgabe 1:

  • Wie lautet die Lösung dieser Aufgabe?

Partielle Integration Aufgabe 1 Aufgabenstellung

Hinweis:

  • Zur Lösung der Aufgabe wird die partielle Integration benötigt.
  • Ich empfehle ein Blatt Papier neben dem PC um die Aufgaben zu lösen.
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Video partielle Integration

Erklärungen und Beispiele

Im nächsten Video besprechen wir die partielle Integration. Dies sind die Themen:

  • Wofür braucht man die Produktintegration?
  • Die Formel zur partiellen Integration.
  • Integration einer E-Funktion mit x · ex.
  • Integration von ln(x).
  • Die Beispiele werden vorgerechnet und erklärt.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zur partiellen Integration

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur partiellen Integration an.

F: Was hat es mit der E-Funktion und der partiellen Integration auf sich?

A: Bei der partiellen Integration werden Ableitungen und Integrationen benötigt um u, u', v und v' zu bilden. Dies ist besonders einfach bei E-Funktionen, denn diese lassen sich einfacher ableiten und integrieren.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Die verschiedenen Integrationsregeln - darunter die partielle Integration - werden meistens ab der 11. Klasse in der Oberstufe behandelt. Die Regeln zur Integration sind im Normalfall in der Oberstufe und im Abitur präsent. Teilweise wird die partielle Integration auch in unterschiedlichen Studienfächern benötigt.

F: Welche Themen der Integralrechnung sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Integrieren Grundlagen
  • Tabelle Grundintegrale / wichtige Integrale
  • Integrationsregeln
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