Fläche unter Kurve / Funktion berechnen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 04. März 2020 um 17:27 Uhr

Mit der Fläche unter oder über einer Funktion / Kurve befassen wir uns hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was die Fläche unter einer Funktion ist.
  • Beispiele für die Flächenberechnung.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Flächenberechnung mit Integralen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Ihr solltet bereits wissen was die Integration in Mathe überhaupt bedeutet. Wer davon noch keine Ahnung hat, wirft bitte erst einmal einen Blick in die Grundlagen der Integration.


Fläche unter Funktion Erklärung

Mit der Integralrechnung kann man die Fläche unter einer Funktion berechnen. Dazu muss man die Funktion kennen sowie den Bereich für welche die Fläche berechnet werden soll.

Beispiel 1: Einführendes Beispiel

Für die Funktion y = f(x) = x2 soll die Fläche zwischen Funktion und x-Achse berechnet werden. Dies soll zwischen x = 0 und x = 2 passieren.

Lösung:

Um die Aufgabenstellung zu verstehen zeichnen wir die Funktion erst einmal in ein Koordinatensystem ein. In grün wird die Fläche markiert zwischen x = 0 und x = 2 unter der Funktion bis zur x-Achse hin. Diese Fläche soll berechnet werden.

Fläche unter Funktion Beispiel 1 Zeichnung

Um die Fläche unter der Kurve mit einem Integral zu berechnen müssen wir f(x) = x2 nach x integrieren (daher das dx dahinter). Die untere Grenze ist 0 und die obere Grenze ist 2. Damit sieht das zu lösende bestimme Integral so aus:

Fläche unter Funktion Beispiel 1 Integral

Mit der Potenzregel der Integration integrieren wir 2x und erhalten x2. Die Grenzen bleiben bei 0 und 2 und werden hinter die eckige Klammer geschrieben. Im Anschluss setzen wir die obere Grenze mit x = 2 ein und wir erhalten 22. Dahinter ein Minuszeichen gefolgt vom Einsetzen der unteren Grenze mit x = 0 was uns 02 bringt. Wir erhalten als Ergebnis eine Fläche von 4.

Fläche unter Funktion Beispiel 1 Lösung




Fläche berechnen über Funktion

In diesem Abschnitt sehen wir uns das "Problem mit negativen Flächen" an.

Beispiel 2: Fläche berechnen

Die Funktion f(x) = x2 - 3 und die x-Achse begrenzen eine Fläche vollständig. Wie groß ist diese Fläche?

Lösung:

Wir zeichnen zunächst einmal die Funktion in ein Koordinatensystem. Dadurch sehen wir die Fläche, welche gemeint ist.

Fläche über Funktion, unter x-Achse Beispiel 2 Koordinatensystem

Wie man sehen kann haben wir eine Parabel mit der Spitze unter der x-Achse. Es entsteht dabei eine Fläche, die bei f(x) = -3 nach unten hin endet. Nach oben hin wird die Fläche breiter und Irgendwo so bei x = 1,7 und x = -1,7 endet die Fläche zur Seite hin. Dies sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Rechnerisch erhalten wir diese durch y = 0.

Fläche über Funktion Beispiel 2 Nullstellen

Man nennt dies die Berechnung von Nullstellen. Wir erhalten diese bei x1 = 1,732 und x2 = -1,732. Dies sind auch die Grenzen für unsere Integration. Wir berechnen die Fläche für f(x) = x2 - 3 und diesen beiden Schnittpunkten. Die kleine Zahl ist dabei die untere Integrationsgrenze, die größere Zahl die obere Integrationsgrenze.

Fläche über Funktion Beispiel 2 Lösung zu berechnendes Integral

Dieses bestimmte Integral müssen wir jetzt lösen. Dazu verwenden wir die Potenzregel und die Summenregel. Wer diese beiden Regeln nicht kennt wirft bitte einen Blick auf die Integrationsregeln. Integrieren wir x2 - 3 erhalten wir x3 : 3 - 3x. Die Grenzen bleiben erhalten und werden im nächsten Schritt eingesetzt. Zunächst setzen wir die obere Grenze 1,732 ein. Danach setzen wir -1,732 ein für x. Zwischen beides kommt ein Minuszeichen:

Fläche über Funktion Beispiel 2 Lösung Rechnung

Wir erhalten als Ergebnis -6,928. Eine negative Fläche gibt es natürlich nicht. Das Minuszeichen sagt aus, dass die Fläche unter der x-Achse liegt. Wir bilden daher den Betrag und erhalten A = 6,928. Da wird die Einheit nicht kennen, es sich aber um eine Fläche handelt schreibt man manchmal dafür auch A = 6,928 FE mit FE für Flächeneinheiten.


Video Integralrechnung und Fläche

Erklärungen und Beispiele

In diesem Video sehen wir uns die Flächenberechnung durch Integralrechnung genauer an. Dies sind die Themen:

  • Flächenberechnung durch Integration
  • Allgemeine Vorgehensweise
  • Beispiel 1 vorgerechnet
  • Beispiel 2 vorgerechnet

Ich empfehle die Aufgaben selbst noch einmal nachzurechnen.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Fläche unter Funktion

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zum Thema Fläche unter oder über einer Funktion in der Integralrechnung an.

F: Was muss ich bei dieser Art der Berechnung beachten?

Diese Punkte sind wichtig:

  • Wenn ihr keine Vorstellung habt wie die Funktion aussieht, dann zeichnet diese in ein Koordinatensystem.
  • Berechnet die Schnittpunkte mit der x-Achse (y = 0 setzen). Dies sind die Integrationsgrenzen.
  • Wendet die Integrationsregeln richtig an und macht beim Rechnen mit den Integrationsgrenzen keine Fehler.
  • Schneidet die Funktion mehrfach die x-Achse müssen die einzelnen Flächen separat berechnet und am Ende addiert werden.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

Die Flächenberechnung durch Integration wird in der Oberstufe behandelt, teilweise bereits ab der 11. Klasse. Dies hängt vom Bundesland ab und ob ihr Grundkurs oder Leistungskurs in Mathematik belegt.

F: Welche Themen der Integralrechnung sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

Ableitung und Integration findet ihr auch unter Analysis.

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