Unbestimmtes Integral

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 04. März 2020 um 17:19 Uhr

Was ein unbestimmtes Integral ist und wie man es löst, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was ein unbestimmtes Integral ist.
  • Beispiele für das Lösen unbestimmter Integrale.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Integralrechnung.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Ihr solltet bereits wissen was Integrieren überhaupt bedeutet. Wer davon noch keine Ahnung hat wirft bitte erst einmal einen Blick in die Grundlagen der Integration. Ansonsten sehen wir uns hier jetzt das unbestimmte Integral an.


Unbestimmtes Integral Erklärung

In der Schule lernt man zunächst das Ableiten kennen. Meistens hat man f(x) gegeben und bildet dann die 1. Ableitung mit f'(x), die zweite Ableitung mit f''(x) und bei Bedarf noch weitere Ableitungen. Bei der Integralrechnung geht man den umgekehrten Weg. Integriert man zum Beispiel die 1. Ableitung f'(x) erhält man wieder f(x). Zusätzlich kommt eine Konstante hinzu (dazu gleich mehr). Integriert man hingegen f(x) landet man bei der Stammfunktion F(x).

Hinweis:

Die Funktion F(x) ist eine Stammfunktion von f(x) wenn F'(x) = f(x) erfüllt ist. Die Stammfunktion F(x) entspricht dabei dem unbestimmten Integral von f(x). Es gibt dabei keine Integralgrenzen, sprich über und unter dem Integralzeichen stehen keine Zahlen.

Beispiel unbestimmtes Integral:

Zunächst eine kurze Erinnerung aus dem Bereich der Ableitungen: Wir leiten die Stammfunktion F(x) = x2 + 5 ab. Mit der Potenzregel der Ableitung wird daraus f(x) = 2x.

Unbestimmtes Integral Beispiel 1 Ableitung

Jetzt gehen wir den umgekehrten Weg. Wir integrieren f(x) wieder und erhalten die Lösung des unbestimmten Integrals als F(x), auch Stammfunktion genannt. Die Regeln mit welchen man die Integration durchführt werden weiter unten genannt. Frage: Woher kenne ich aber die 5 beim Lösen vom unbestimmten Integral bei F(x) = x2 + 5? Antwort: Gar nicht. Ich komme beim Integrieren von 2x auf x2 mit den Integrationsregeln. Aber eine Konstante wie 5 oder 8 oder 2 kenne ich einfach nicht. Daher schreibt man einfach C. Das C ist ein Platzhalter für eine Konstante, die man nicht kennt.

Unbestimmtes Integral Beispiel 1 Lösung Integral

Im nächsten Abschnitt sehen wir uns Regeln zur Bildung von Stammfunktionen an.




Unbestimmtes Integral bilden

Wie berechnet man das unbestimmte Integral? Im einfachsten Fall findet man dies durch Blick in eine Tabelle für Stammintegrale bzw. Grundintegrale. Es folgt ein Auszug aus so einer Tabelle

Auszug Tabelle Stamm- und Grundintegrale:

Unbestimmtes Integral Tabelle

Weiter zu:

Unbestimmte Integrale bilden Regeln:

Es gibt verschiedene Regeln um unbestimmte Integrale zu lösen. Um den Artikel nicht extrem in die Länge zu sehen werft einen Blick auf die folgenden Inhalte:

Üben könnt ihr diese Regeln im nächsten Abschnitt.


Unbestimmtes Integral Aufgaben / Übungen

Um die verschiedenen Integrationsegeln zum Bilden von unbestimmten Integralen anwenden zu lernen haben wir eine Reihe an Übungsaufgaben erstellt. Diese Aufgaben sind unterteilt nach der jeweiligen Regel. Versucht dabei jeweils die Aufgaben zu lösen ohne mit dem Taschenrechner oder anderen Hilfsmitteln nachzuhelfen.

Zu jeder Aufgabe gibt es vier Möglichkeiten zu antworten von denen nur eine Antwort richtig ist. Die drei anderen Antworten sind falsch. Wer die Antwort nicht weiß kann entweder raten oder direkt zur Lösung der Aufgabe springen, welche im Normalfall die Rechnung und eine Erläuterung bietet.

Video Stammfunktion

Beispiele und Erklärungen

Wir haben noch kein Video welches sich explizit mit Stammfunktionen beschäftigt(steht auf meiner To-Do-Liste). Jedoch haben wir bereits ein Video zu den Grundlagen der Integralrechnung verfügbar. In diesem Video sehen wir uns die Grundlagen zu diesem Bereich der Analysis einmal näher an.

Dies sind die Themen Im Video:

  • Flächenberechnung: Beispiel Grundlagen.
  • Untersumme einer Funktion.
  • Obersumme einer Funktion.
  • Richtige Lösung der Übung.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zu Integrationsregeln

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu unbestimmten Integralen an.


F: Wie lerne ich das Thema unbestimmtes Integral am einfachsten?

A: Startet zunächst mit den Grundlagen der Integration. Dort bekommt ihr eine Erklärung warum man das Integralrechnen überhaupt benötigt. Werft danach einen Blick auf die Integrationstabelle für einfache Integrationen (oder die auf diese Form gebracht werden können). Im Anschluss solltet ihr schon grob wissen auf welche Grund- und Stammintegrale man für das Integrieren von Funktionen aufbauen kann. Die Integrationsregeln zum Bilden von Stammfunktionen (unbestimmtes Integral lösen) findet ihr im Anschluss hier in diesem Artikel.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Unbestimmte Integrale werden meistens ab der 11. Klasse in der Schule besprochen. Dies hängt vom jeweiligen Bundesland ab und ob ihr Grundkurs oder Leistungskurs in Mathematik belegt. In vielen Studiengängen taucht die Integralrechnung ebenfalls auf.

F: Welche Themen der Integralrechnung sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

Ableitung und Integration findet ihr auch unter Analysis.

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