Integrationsgrenzen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 04. März 2020 um 17:26 Uhr

Mit den Integrationsgrenzen der Mathematik befassen wir uns hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was die Integrationsgrenzen sind.
  • Beispiele für das Lösen von Integralen mit Grenzen.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Flächenberechnung mit Integralen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Ihr solltet bereits wissen was die Integration der Mathematik überhaupt bedeutet. Wer davon noch keine Ahnung hat, wirft bitte erst einmal einen Blick in die Grundlagen der Integration.


Integrationsgrenzen Erklärung

In der Mathematik verwendet man die Integralrechnung um Flächen zu berechnen. In der nächsten Grafik ist eine grüne Fläche unter der Funktion y = 2x eingezeichnet.

Integrationsgrenzen Grafik

Diese Fläche unter y = 2x könnte man natürlich noch deutlich breiter und größer machen, indem man sie zum Beispiel nach rechts erweitert. Doch wie begrenzt man die Fläche? Dazu verwendet man die so genannten Integrationsgrenzen. In unserem Beispiel bestimmen wir die Integrationsgrenzen zu x = 0 und x = 2.

Hinweis:

Die Integrationsgrenzen geben an in welchem Bereich die Fläche unter oder über einer Funktion berechnet werden soll. Man unterscheidet dabei zwischen der oberen Integrationsgrenze und der unteren Integrationsgrenze.

Beispiel 1: Integrationsgrenze:

Für die Funktion f(x) = 2x soll die Fläche im Bereich zwischen x = 0 und x = 2 berechnet werden. Wie muss das Integral aufgeschrieben werden?

Lösung:

Da es sich um eine Integrationsaufgabe mit Grenzen handelt, nennt man es ein bestimmtes Integral. Die obere Integrationsgrenze wird oben an das Integralzeichen geschrieben, die untere Integrationsgrenze wird an das untere Ende des Integralzeichens geschrieben.

Integrationsgrenzen Beispiel 1 Lösung




Integrationsgrenzen Beispiel

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch an wie man eine Aufgabe mit Integrationsgrenzen ausrechnet.

Beispiel 2: Aufgabe mit Integrationsgrenzen

Wie groß ist die Fläche der Funktion y = 2x von x = 0 bis x = 2?

Lösung:

Zunächst einmal schreiben wir uns die Aufgabenstellung auf. Integrieren müssen wir 2x nach der Variablen x (daher das dx dahinter). Die Grenzen sind x = 0, welche unsere untere Grenze ist. Außerdem noch x = 2 für die obere Grenze. Mit der Potenzregel der Integration integrieren wir 2x und erhalten x2. Jetzt setzen wir die Integrationsgrenzen ein. Zunächst die obere Grenzte mit x = 2 bringt uns von x2 zu 22. Dahinter folgt ein Minuszeichen gefolgt von der unteren Grenze mit x = 0 was uns von x2 zu 02 bringt.

Integrationsgrenzen Beispiel 2 Lösung

Die 4 ist die Fläche unter der Funktion y = 2x zwischen x = 0 und x = 2.


Aufgaben / Übungen Integrationsgrenzen

Aufgabe 1:

In diesem Bereich bieten wir euch die Möglichkeit Fragen und Aufgaben zum bestimmten Integral zu üben. Viele Schüler und Studenten scheitern jedoch schon an Begriffen und Wissen zum bestimmten Integral. Daher gibt es hier erst einmal kurz ein paar Fragen zum Thema und danach Aufgaben zum Rechnen. Wer etwas nicht mag kann auf überspringen klicken.

  • Woran erkennt man ein bestimmtes Integral (im Vergleich zum unbestimmten Integral)?
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Video Integrationsgrenzen

Erklärungen und Beispiele

In diesem Video sehen wir uns die Integrationsgrenzen zur Flächenberechnung an. Dies sind die Themen:

  • Flächenberechnung mit Grenzen
  • Allgemeine Vorgehensweise
  • Beispiel 1 vorgerechnet
  • Beispiel 2 vorgerechnet

Ich empfehle die Beispiele selbst noch einmal nachzurechnen.


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Fragen mit Antworten Integrationsgrenzen

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zu Integrationsgrenzen an.

F: Wann vertauscht man die Integrationsgrenzen und wie geht dies?

Im Normalfall ist die untere Integrationsgrenze kleiner als die obere Integrationsgrenze. Dies kann jedoch auch umgekehrt sein. Man kann dann entweder die Grenzen vertauschen oder man rechnet das Integral einfach mit vertauschten Grenzen. Die folgende Formel zeigt euch dies.

Integrationsgrenzen vertauschen

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

Die Integrationsgrenzen werden ab der Oberstufe behandelt, meistens ab der 11. Klasse. Dies hängt jedoch auch etwas vom Bundesland ab und ob du im Grundkurs und Leistungskurs bist. Die Integrationsgrenzen kommen bis ins Abitur vor und sind auch Teil vieler Studiengänge.

F: Welche Themen der Integralrechnung sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

Ableitung und Integration findet ihr auch unter Analysis.


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