Substitutionsregel: Integration durch Substitution

Wie man die Substitutionsregel (Integration durch Substitution) anwendet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, wofür man die Substitutionsregel braucht.
• Beispiele für die Integration durch Substitution.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zu dieser Integrationsregel.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits die Grundlagen der Integration sowie die Substitution kennt.

Substitutionsregel für Integration

In der Mathematik gibt es verschiedene Regeln um Funktionen zu integrieren. Dazu gehören zum Beispiel die Potenzregel der Integration oder die partielle Integration. Eine weitere Regel um etwas schwierigere Funktionen zu integrieren bezeichnet man als Integration durch Substitution oder kurz Substitutionsregel.

Beispiel 1: E-Funktion integrieren

Führe eine Integration durch Substitution für die folgende E-Funktion durch. Wie lautet die Stammfunktion?

Lösung

Wir haben eine E-Funktion zu integrieren mit 2x im Exponenten. Es gibt keine Grenzen bei der Funktion, wir müssen also "nur" die Stammfunktion finden. Für eine einfache E-Funktion wie e^x wäre die Integration ebenfalls e^x plus einer Konstanten. Hier haben wir jedoch eine 2x im Exponenten. Daher substituieren wir indem wir eine "Hilfsvariable" einführen. Diese bezeichne ich mit z. Wir erhalten daher zunächst z = 2x. Diese 2x leiten wir ab, daher der Ausdruck dz : dx = 2. Wir stellen diese kleine Gleichung noch nach dx um.

Wir nehmen noch einmal die Aufgabenstellung und ersetzen 2x durch z. Außerdem ersetzen wir dx durch dz : 2 wie in der letzten Gleichung eben gezeigt. Im nächsten Schritt ziehen wir die 2 aus dem Nenner vor das Integralzeichen. Integriert werden muss nun nur noch e^z, welches nach der Integration e^z bleibt plus eine Konstante. Im letzten Schritt machen wir die Substitution rückgängig und ersetzen z wieder durch 2x.

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Integration durch Substitution Bruch

In diesem Abschnitt soll mit der Substitutionsregel ein Bruch integriert werden.

Beispiel 2: Bruch integrieren

Mit der Substitutionsregel soll der folgende Bruch integriert werden.

Lösung:

In einer Integrationstabelle findet man 1 : x. Daher versuchen wir den Bruch auf diese Form zu bringen. Dies schaffen wir indem wir den Nenner 4x + 1 durch z ersetzen. Wir leiten im nächsten Schritt 4x + 1 ab, zu erkennen an dz : dx. Danach stellen wir diese Gleichung noch nach dx um.

Um das Integral lösen zu können, vereinfachen wir zunächst die Darstellung: Aus 4x + 1 wird z. Aus dx wird dz : 4 wie im letzten Schritt bereits berechnet. Wir vereinfachen die Aufgabe indem wir die 3 aus dem Zähler und die 4 aus dem Nenner vor das Integral ziehen. Durch eine Integrationstabelle weiß man das 1 : z integriert ln |z| + C ist. Im letzten Schritt machen wir die Substitution wieder rückgängig indem wir für z wieder 4x + 1 einsetzen.

Aufgaben / Übungen Substitutionsregel

Aufgabe 1:

Versucht einmal die Integration durch Substitution selbst anzuwenden.

• Wie lautet die Lösung dieser Aufgabe?

• 0,2 ln |5x| + C
• 0,5 ln |5x - 7| + C
• 0,2 ln |5x - 7| + C
• ln |5x - 7| + C
• 0,2 ln |7| + C

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Video Integration durch Substitution

Fragen mit Antworten zur Substitutionsregel