Potenzregel Integral / Integrieren

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 14. Oktober 2019 um 19:55 Uhr

Wie man die Potenzregel beim Integrieren anwendet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wofür man die Potenzregel bei der Integralrechnung braucht.
  • Beispiele für den Einsatz der Potenzregel.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu den Grundlagen der Integralrechnung
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits die Grundlagen der Integration kennt sowie die Potenzregel Ableitung.


Potenzregel beim Integrieren

Ich hoffe ihr erinnert euch noch an die Potenzregel für Ableitungen. Jetzt geht es darum eine Ableitung umzukehren, also zu integrieren. Der allgemeine Zusammenhang - sozusagen die "Formel" - um eine Potenz zu integrieren lautet:

Potenzregel integrieren Formel

Das Zeichen ganz am Anfang ist das Zeichen für das Integral. Ansonsten: Sieht kompliziert aus, ist jedoch eigentlich ganz einfach. Die Potenzregel in Worten besagt:

Hinweis:

Eine Funktion wird nach der Variablen x integriert, indem man die Potenz um 1 erhöht. In den Nenner kommt ebenfalls die alte Potenz plus 1. Am Ende wird noch eine Konstante hinzugefügt, denn eine beliebige Zahl fällt beim Ableiten wieder weg.

Beispiel 1: Einfache Potenz integrieren

Integriert werden soll f(x) = x3 nach der Variablen x (daher die Schreibweise dx dahinter). Wie lautet das Ergebnis?

Potenzregel Integrieren Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Die Potenz ist 3, sprich n = 3. Um das Integral zu berechnen, müssen wir diese Potenz um 1 erhöhen auf 4. Diese 4 kommt auch noch einmal in den Nenner. Fehlt uns noch das + C am Ende.

Potenzregel Integrieren Beispiel 1 Lösung

Zum Verständnis: Eines muss klar sein. Leite ich x4 : 4 + 3 oder x4 : 4 + 8 wieder ab, dann fällt jedes beliebige C wieder weg. Da wir jedoch beim Integrieren nicht wissen wie groß die alleinstehende Zahl ist, müssen wir einfach + C schreiben.




Potenzregel Integrieren Beispiele

Sehen wir uns noch die Potenzregel zum Integrieren für Brüche und negative Potenzen an.

Beispiel 2: Potenzregel mit Bruch

Beim folgenden Beispiel haben wir eine Potenz, jedoch mit einem Bruch 2 : 3 mit dabei. Dies soll nach der Variablen x integriert werden. Wie lautet die Lösung?

Potenzregel Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Zunächst schreiben wir uns noch einmal den allgemeinen Zusammenhang für die Integration von Potenzen auf. Den Bruch - also 2 : 3 - dürfen wir für die Integration vor das Integral ziehen. Bleibt uns als Potenz x4 übrig. Für die Integration wird die Potenz um 1 erhöht auf 5, welche auch in den Nenner kommt. Im Anschluss müssen wir nur noch ausmultiplizieren.

Potenzregel Integrieren Beispiel 2 Lösung

Beispiel 3: Negative Potenz integrieren

Integriert werden soll 1 geteilt durch x2 nach x. Wie lautet die Lösung?

Potenzregel integrieren, negative Potenz Beispiel 3 Aufgabe

Lösung:

Wir bringen zunächst die x2 aus dem Nenner in den Zähler. Dadurch dreht sich das Vorzeichen um. Im Anschluss nehmen wir den allgemeinen Zusammenhang für die Integration von Potenzen und setzen n = -2 ein. Wir vereinfachen die Potenzen. Im Prinzip ist die Integration jetzt fertig, kann jedoch noch vereinfacht werden.

Potenzregel integrieren, negative Potenz Beispiel 3 Lösung


Aufgaben / Übungen Potenzregel Integration

Aufgabe 1:

  • Wie lautet die Lösung dieses Integrals?
  • Beachte: Es muss die Potenzregel verwendet werden?

Potenzregel Integrieren Beispiel 1 Aufgabe

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Video Integralrechnung

Grundlagen Integrale

Im nächsten Video sehen wir uns erst einmal die Grundlagen zur Integralrechnung an.

Dies sind die Themen:

  • Fläche berechnen Beispiel Grundlagen
  • Untersumme
  • Obersumme
  • Richtige Lösung

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten: Potenzregel Integration

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Potenzregel der Integralrechnung an.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Die verschiedenen Integrationsregeln - darunter die Potenzregel zum Integrieren - werden meistens ab der 11. Klasse in der Schule behandelt. Die Regeln zur Integration sind im Normalfall die ganze Oberstufe und im Abitur präsent. Auch in zahlreichen Studiengängen gehört das Lösen von Integralen mit dazu.

F: Was muss ich beim Integrieren noch beachten?

A: Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung. Mit ihr kann man zum Beispiel die Fläche unter einer Funktion berechnen. In den Grundlagen der Integralrechnung solltet ihr zunächst einmal die verschiedenen Integrationsregeln lernen, darunter die Potenzregel. Diese Regel muss teilweise in Kombination mit anderen Regeln eingesetzt werden. Daher solltet ihr als nächstes weitere Regeln der Integration lernen.

F: Welche Themen zur Integralrechnung sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Integrieren Grundlagen
  • Tabelle Grundintegrale / wichtige Integrale
  • Integrationsregeln
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